Patryk: Dowieźć, że dla naturalnych n liczba (n+1)ⁿ-1 jest podzielna przez n²

Patryk:

Eta: Witam! Wydaje mi się,że trzeba skorzystać z uogólnienia nierówności Bernouliego (a+1)ⁿ ≥ 1 + a*n +[n(n-1)/2]*(a²) dla a ≥1 czyli że ( n+1)ⁿ ≥ 1 + n² + [n(n-1)/2]*n² czyli (n+1)ⁿ - 1 = 1 -1 + n² +[n(n-1)/2]* n² = n²*[ 1 + n(n-1) /2] -- czyli podzielne przez n² Myśle,że tak!

Eta: Patryk! Może jeszcze Basia oceni! W/g mnie powinno być dobrze!

Patryk: Dziekuje bardzo, naprawde...

Eta: Ok! Ale wolałabym by jeszcze ktoś potwierdził ....ale nikogo nie ma! Powodzenia! ( powinno byc dobrze! Dawno to było oj! dawno! ... i mogło uleciec z mojej głowy!

JoK: wydaje mi się, że jest ok

Eta: No! Dzięki!

JoK: ale czekaj... czy można przejść z nierówności na równość tak jak na końcu zrobiła Eta?

Eta: W/g mnie można! ... tak mi się wydaje Bo tak przechodzi sie przy ogólnieniu nier. Bernouliego! Tak to pamietam! .. myślisz ,że nie?

JoK: nie pamiętam...

Jakub: Hmm, nie bardzo rozumiem Eta dlaczego znak ≥ zmieniłaś na =. Taki banalny przykład. Jeżeli 5>4 i 4 jest podzielne przez 2, to nie oznacza to, że 5 jest podzielne przez 2. Tak ja to widzę. Ale może czegoś nie rozumiem. No i krytykuję a sam nie potrafię tego rozwiązać

Eta: Ale tam jest nierówność ≥1 czyli jest i =

Jakub: No tak pospieszyłem się i zamiast 5≥4 dałem 5>4. Ale się nie upieram, bo o nierówności Bernulliego dowiedziałem się z twojego wpisu. Tak sobie myślę, czy by się nie dało z dwumianu Newtona. Rozwinięcie (n+1)ⁿ ma na końcu 1, a przed tą 1 to zdaje się n² jest. Wcześniej to już potęgi większe lub równe n². (n+1)ⁿ-1 Po rozwinięciu tego (n+1)ⁿ i odjęciu 1, zostaje suma potęg o wykładnikach większych lub równych 2. Czyli ta suma dzieli się na n².

Eta: Też tak można! Nawet tak wczesniej myślałam! ... ale .. przypomniała mi sie ta nierównośc Bernouliego! tzn. jej uogólnienie! Teraz to już sama nie wiem? Tak jak pisałam : jesteście młodzi ze świeżymi i na bieżąco (wiadomościami! jak źle myślę ? ... to broń Boże sie nie upieram! Tak mi sie wydawało!...... Najlepiej rzeczywiście z dwumianu Newtona! To już będzie 100 % - towa pewność! Poadrawiam! ... i bardzo dziękuje za to forum! Dla mnie to już "nałóg" ... nie wyobrażam sobie 'życia" bez tego forum Miłych snów!

JoK: miłych snów

Basia: Nie można ≥ zastąpić przez = bo to jest (> lub =) czyli nie musi być = Sposób Jakuba jest dobry.

Basia: a żeby Patryk nie miał watpliwości to rozpiszę (n+1)ⁿ -1 = (n nad 1)nⁿ + (n nad 2)n^n-1 +......+ (n nad n-2)n² + (n nad n-1)n + (n nad n)n⁰ -1 = (n nad 1)nⁿ + (n nad 2)n^n-1 +......+ (n nad n-2)n² +n*n + 1 -1 = (n nad 1)nⁿ + (n nad 2)n^n-1 +......+ (n nad n-2)n² +n² no a to jak Jakub pisał jest podzielne przez n² uwaga: (n nad n-1) =n (n nad n)=1

Eta: Basia! Owszem, sposób Jakuba jest poprawny! ... ale , upieram się dalej ,że = można napisać ,bo alternatywa ≥1 zachodzi i dla = 1( tu mamy do czynienia z liczbami naturalnymi! więc tymbardziej można!..... hmm... Wy uważacie inaczej! Mój jest prostszy!..... właśnie z uogólnienia nierówności Bernouliego! i też w/g mnie jak najbardziej poprawny

Basia: nie można; z prawdziwości alternatywy p lub q nie wynika prawdziwość zdań składowych tak jak Jakub napisał 5≥4 ale 5#4 (n+1)² ≥ n²+1 oczywiste dla n∈N nieprawdaż ? ale (n+1)² #n²+1 też oczywiste

Eta: No! dobrze! ...... ale......... niech tak będzie

Kubba: Basia albo Eta napiszcie za mnie maturę z matematyki, proszę

Eta: Świetne ..... tylko niemożliwe Sorrrrrrrryyyyyyy

Eta: Kubba! Dawaj zadanka! bo nie mam co robić