Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi nierówność: Pilne!!!: |x| + |y| + |z| ≤ |x+y−z| + |x−y+z| + |−x+y+z|

pinka: podstwa za np x=1 y=2 z=3 chyba tak i sprawdz

Amaz: Ktoś widzi inny sposób niż rozpatrywanie miliona przypadków?

Jack: spróbuj 3 razy z nierówności trójkąta rozpisać każdy z wyrazów po prawej stronie.

Jack: mi wyszło, Tobie też powinno (na końcu będzie 0≤|z−x| + |x−y| + |y−z| to jest tzw. oczywista prawda ).

manka: ale jak wychodzi taka postać końcowa? (0≤|z−x| + |x−y| + |y−z|)

jc: a= −x+y+z b= x−y+z c= x+y−x |a+b| ≤ |a| + |b| ... Wystarczy dodać ...

nier_0: czyli |2z|≤|−x+y+z|+|x−y+z|... i co to ma niby dać? to zadanie jest jakieś dziwne, też się nad nim męczę

jc: ... (trzy kropki) oznaczały, że trzeba jeszcze dopisać dwie podobne nierówność |b+c| ≤ |b| + |c| |c+a| ≤ |c| + |a| a potem dodać stronami.

nier_0: no ok.. ale nie rozumiem w sumie z czego to wynika, że możemy to sobie tak rozpisać.. na jakiej podstawie rozpisujemy sobie te trze przypadki a potem je do siebie dodajemy? i jak doaje się stronami nierówności? tak sdamo jak równania ? np. a+b>c i d+e>f jak dodamy, to mamy a+b+d+e>c+f ?

wredulus_pospolitus: 2x = (x + y − z) + (x − y + z) 2y = (−x + y + z) + (x + y − z) 2z = (x − y + z) + (−x + y + z) a więc |2x| = |(x + y − z) + (x − y + z)| ≤ |x + y − z| + |x − y + z| |2y| = ... |2z| = ... teraz dodajesz te trzy nierówności stronami ... przez 2 i co otrzymujesz