zadanie katarzyna: proszę o pomoc czy funkcja y(x)= sqrt(x) (pierwiastek z x) ma pochodną dla x=0? Podaj interpretację geometryczną.

katarzyna: anybody help me?

katarzyna: pomoże ktoś

katarzyna: pomoże ktoś?

Jack: narysuj wykres y=√x i spróbuj narysować styczną do wykresu w x=0 albo policz pochodną y=√x i sprawdź, czy można wstawić x=0.

katarzyna: wstawić można, i wychodzi 0 czyli pochodnej nie ma?

katarzyna: styczna przechodzi przez x=0

Jack: co to znaczy że wychodzi zero? Na pewno podstawiłaś do POCHODNEJ (a nie f(x)=√x)? Raczej powiedz, czy ta linia styczna w zerze jest pionowa, pozioma czy pod jakimś innym kątem?

katarzyna:

	1
pochodna jest równa		, także podstawiając tam zero wyjdzie 0, a styczna jest
	2√x

nachylona pod katem, przechodząca przez środek układu współ.

Jack: podchodna jest ok, ale czy na pewno możesz tu wstawić x=0?

katarzyna: a dlaczego by nie?

katarzyna: aha! mianownik nie może byc równy zero!

katarzyna: czyli co, nie ma pochodnej dla x=0 ...

Jack: no właśnie Czyli prosta styczna musiałaby mieć współczynnik a=∞, a tego sobie nie życzymy... Stąd pochodna w zerze funkcji f(x)=√x nie istnieje.

katarzyna: z tym podaniem interpretacji geometrycznej? mimo ze pochodnej nie ma.

katarzyna: ok, cofam pytanie, cos mi się pochrzaniło, przeciez interpreatcją jest styczna i ten wykres

Jack: styczna musiałby mieć wspólczynnik a=∞... To znaczy że musiałaby być linią pionową w x=0. Ale jak wiadomo to już nie będzie funkcja.

katarzyna: ahhh, tak

katarzyna: mam jeszcze jdno pytanie, co do innego zadania, też z pochodnych a by napisać równanie stycznej do wykresu funkcji a) f(x)= 2x² +3x − 1 dla x= −1 b)f(x) e^−x2 dla x=0 c) f(x)= ln(x+1) dla x=0

katarzyna: cz wyszło mi dobrze? a) y=−x b) brak pochodnej c)y=x

Jack: 1. policz pochodną 2. znajdz równanie stycznej (y=ax+b). Wykorzystaj do tego fakt, że znasz punkt wspólny dla obu funkcji 3. wstaw a, b do wzoru na funkcję liniową. Zerknij tu https://matematykaszkolna.pl/strona/379.html (choć nie najlepiej to tu wyjasnione)

Jack: a) punkt wspólny to (−1,−2), f'(x)=4x+3, czyli styczna to y=−x−3 b) e^x2 ? c) funkt wspóny to (0,0) f'(x)=1/(x+1) czyli styczna to y=x

katarzyna: mi wyszło teraz a) y= −x +1 b) e do −x do 2 C)y=x

katarzyna: w tym b to chyba nie ma pochodnej

Jack: b) f(x)=e^−x2 ?

katarzyna:

	1
w b pochodna wychodz
	2xex2

katarzyna: tak własnie tak, coś nie chce mi to wyjśc

Jack:

	−2x
a może		?
	ex2

katarzyna: w książce mam przykład funkcji e^x2 i rozwiązanie jest f'(x)= 2xe^x2

katarzyna: także mysłałam, ze to wygląda podobnie.

Jack: no tak, bo f'(x)=(e^x2)'= {pochodna funkcji zewn. razy poch. funkcji wewn.}=e^x2 * (x²)'=2xe^x2 Dokładnie analogicznie trzeba zrobić z tym z punktu b).

katarzyna: czyli to moje jest dobrze, w takim razie pochodnej nie ma?

Jack: no jak dobrze? Przyjrzyj się temu jeszcze raz. Z niewiadomych przyczyn do mianownika wpadł Ci wyraz 2x i zaginął po drodze minus.

katarzyna: zginął, bo mamy to potęgi minusowej czyli daje nam ułamek.

katarzyna: myslałam, że tak na to trzeba spojrzeć

Bogdan: Cytat: "styczna musiałby mieć współczynnik a=∞... To znaczy że musiałaby być linią pionową w x=0. Ale jak wiadomo to już nie będzie funkcja. Styczna jest prostą. Czy styczna musi być wykresem funkcji?

katarzyna: to pytanie chyba nie do mnie?

Bogdan: Do każdego

katarzyna: jeśli musi, to co wtedy?

Jack: pochodną w punkcie interpretujemy jako współczynnik kierunkowy stycznej... Dlaczegóż nie miałaby być linią pionową? Hm... Faktycznie, możliwe że się pospieszyłem − nie będzie funkcją ale mimo tego będzie styczną

katarzyna: i jakie wnioski z tego?

Bogdan: Do rozważań o istnieniu pochodnej w punkcie x₀ lepiej nie włączać stycznej. Trzeba raczej przyjrzeć się definicji pochodnej w punkcie x₀.

Jack: ze istnieje styczna w punkcie x=0 choć nie jest funkcją. Będzie prostą pionową czyli ma postać x=a, a znajdziesz bo znasz punkt styczności (współrzędną x).

Jack: nie nie, wszystko jest ok, trzeba tylko wiedzieć, że styczna nie musi być funkcją i będzie w porządku.

katarzyna: czy to zmienia postać rzeczy tzn. rozwiązania.

Jack: w tym przykładzie y=√x okazuje się że istnieje pochodna.

Jack: istnieje styczna, sorry.

katarzyna: czyli istnieje interpretacja geometryczna?

katarzyna:

Jack: nie no, interpertacja geometryczna istnieje (tzn. da się ją przeprowadzić). Popełniłem błąd pisząc że styczna nie istnieje. Po prostu nie jest ona funkcją, jest linią pionową.

Jack:

katarzyna: tak?

Jack: o właśnie.

katarzyna: a dlaczego nie tak jak wcześniej narysowałam?

Jack: bo wartość pochodnej w zerze wyszła nam ∞. Czyli linia musi być pionowa. Gdyby była jakkolwiek inaczej nachylona wówczas z pochodnej wyszłaby jakaś liczba.

katarzyna: właśnie nie rozumiem jak wyszło ∞?

katarzyna: przepraszam, ze tak cięzko to mi idzie, ale ja dopiero się z tym zaznajamiam

Jack:

	1		1
wyszło f'(x)=		. Teraz jak wstawisz do mianownika 0, wyjdzie		=∞.
	2√x		0

katarzyna:

	1		1
wartość pochodnej wychodzi nam		bp f'(x)=
	0		2√x

katarzyna: ahaaaa jejciu soryy, zapomniałam całkiem o tym.

katarzyna: az tym przykładem b, to jak w końcu będzie?

Jack: tak jak napisałem, styczna też wyjdzie i będzie nawet funkcją

katarzyna:

	−2x
pochodną będzie
	ex2

katarzyna: ?

katarzyna: wyszło mi y= −x

Jack: tak, tak będzie wyglądała. albo inny zapis: −2x*e^−x2

Jack: w jakim punkcie liczysz pochodną?

katarzyna: dobrze?

katarzyna: x=0

Jack: dobrze, liczysz dla x=0. Czyli ile wychodzi f'(0)? (przepraszam za te pytania...)

katarzyna: wychodzi zero, czyli co ? nie ma pochodnej, bo ja juz się gubię.

Jack: pochodna wychodzi nam 0, a pochodna funkcji w punkcie to współczynnik "a" stycznej. Czyli nasza styczna ma postać y=0x+b czyli y=b. Trzeba teraz znaleźć "b". W tym celu znajdź wartość współrzędnej "y" w punkcie w którym liczysz pochodną (podstaw ten punkt do funkcji pierwotnej i wylicz "y"). Wcześniej wychodziło ∞ dlatego mieliśmy małe zatrzęsienie.

katarzyna: oooo matko, za dużo informacji o tej godzinie czyli co? y=0

Jack: f(x)=e^−x2 Liczymy f(0)=e⁰=1 Wiec nasz punkt w którym liczymy styczną to (0,1) Stąd wynika że współrzędna y=1 Czyli nasza styczna, skoro przechodzi tez przez ten punkt, ma postać y=1.

Jack: uciekam, powodzenia dalej!

katarzyna: dzięki, ja podstawiłam pod wzór pochodnej,i dlatego to wyszło, już trochę nie kontaktuję