Oblicz granice ciągu: Paweł: Oblicz granice ciągu:

	2 + √n
an =
	1 + 2n

Jack: podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika.

Paweł:

	2n + √nn
czyli wyjdzie		czyli licznik dąży do 0, mianownik do 2
	1n + 2

	0
czyli całóść ma granice w		czyli w 0?
	2

Jack: zgazda się. Widać, że mamy dwa wielomiany i skoro w mianowniku jest potęga wyższa, to w granicy mianownik przeważy nad licznikiem, czyli przy n→∞ musi dać 0.

Paweł: Dziękować.

Paweł: a co w przypadku √n³ + n² + 1 − n ? Podzielić wsyzstko przez √n³ + n² + 1 ?

Jack:

	(a−b)(a+b)
rozszerzyć: a−b=		.
	a+b

Paweł: a co dalej?

Jack: a potem to, co wczesniej, czyli dzielenie przez najwyższą potęgę mianownika (można to przyspieszyć, ale na początek lepiej nie szarżować).

Paweł: a (√n³ + n² + 1 − n)(√n³ + n² + 1 + n) da się jakoś "zwinąć"?

Jack: da się − wzory skróconego mnożenia powinieneś już znać, gdy doszedłeś "aż" do granic.

Paweł: no tak, (n³ + n² +1) − n²

Paweł: czyli granica wyjdzie 1?

Jack: jakie największe potęgi masz w liczniku i mianowniku?

Paweł: n³

Jack: w liczniku tak, a w mianowniku (spróbuj wyciągnąć z pierwiastka w mianowniku największą potęgę)?

Paweł: n⁽³₂)

Paweł: nie, no przecież mogę w pierwiastku wyciągnąć poza nawias n³ prawda?

Jack:

....		....
	=
√n3+n2+1)+n		√n3(1+1/n+1/n3)−n

Teraz wyciągnij tylko to n³ spod pieriwastka kwadratowego. (Twoje poprzednia odp. była poprawna)

Jack: oj literówka... to "+n" w pierwszym mianowniku stoi poza pierwiastkiem i powinno być "−n".

Paweł: no to ile ma wyjść? bo mi albo wychodzi ¹₀ albo¹₁

Jack: dążę do tego żeby Ci pokazać że w liczniku jest potęga wyższa niż w mianowniku. To oznacza (wobec znaku dodatniego przy tej wyższej potędze), że granicą będzie 1/0 czyli +∞.

Paweł: a to można licznik przez n³ a mianownik przez n ?

Jack: w mianowniku najwyższa potęga będzie n^3/2, a w liczniku n³. Stąd w granicy licznik przeważy nad mianownikiem i wyjdzie +∞.