CIAGLOSC FUNKCJI wPOTRZEBIE: zad1 f.g(x)=|sin(x)| ma pochodna w kazdym punkcie? 2. zbadaj ciaglosc funkcji y(x)= x−1/x²−1 dla |x|>1 0,5 dla |x|=1 2⁻x dla |x|<1 3. Dobierz parametry a i b tak aby funkcja była ciagla y(x)= cos(x) dla x≤o ax+b dla 0<x<1 x² dla x≥1 ratujcie:(

Basia: ad.1 sinx dla x∊<2kπ,(2k+1)π> g(x)=|sinx|= −sinx dla x∊( (2k+1)π, (2k+2)π) wątpliwe mogą być tylko punkty na granicach przedziałów weźmy konkretny przedział <0,π> badamy iloraz różnicowy

sinh−sin0		sinh
	=
h		h

	sinh
limh→0		istnieje i =1
	h

czyli pochodna w p−cie 0 istnieje

sin(π+h)−sinπ		sin(π+h)		sinπ*cosh+sinh*cosπ
	=		=		=
h		h		h

0*cosh+(−1)*sinh		sinh
	= −
h		h

	sinh
limh→0−		istnieje i =−1
	h

czyli pochodna w p−cie π istnieje analogicznie można udowodnić istnienie pochodnej w każdym punkcie tego rodzaju czyli w punktach 2kπ, (2k+1)π stąd wniosek, że funkcja g(x)=|sinx| jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie

Basia: ad.3 y(0)=cos0=1 lim_x→0⁻y(x) = lim_x→0⁻ cosx = cos0=1 lim_x→0⁺y(x) = lim_x→0⁺ [ax+b] = a*0+b=b aby funkcja była ciągła w x₀=0 musi być b=1 y(1)=1²=1 lim_x→1⁻y(x) = lim_x→1⁻[ax+ b] = lim_x→1⁻[ax+1] = a*1+1 = a+1 lim_x→1⁺y(x) = lim_x→1⁺ x² = 1²=1 aby funkcja była ciągła w punkcie x₁=1 musi być a+1=1 czyli a=0 w pozostałych punktach funkcja oczywiście jest ciągła −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ad.2 analogicznie, a jeżeli nie umiesz napisz porządnie wzór funkcji, bo nie wiem co tam jest naprawdę napisane

Jack: ad 1. f(x)=|sinx| przecież nie jest różniczkowalny w punktach 2π... Nie jest w nich gładki. Nie jest więc różniczkowalny w całej swej dziedzinie.

Basia:

sin(2kπ+h)−sin(2kπ)		sinh−0		sinh
	=		=
h		h		h

	sinh
limh→0		= 1
	h

to jest wprost z definicji; gdzie tkwi błąd ?

Jack: wg mnie liczysz z definicji pochodną funkcji f(x)= sin x, a w przykładzie jest f(x)=|sin x|. Jesli się nie mylę, to liczbąc pochodne obustronne dostaniemy:

−sin (π+h)+sinπ		sinh+0
	=
h		h

	sinh
limh→0+		=1
	h

oraz

sin (π+h)−sinπ		−sinh+0
	=
h		h

	−sinh
limh→0−		=−1
	h

Granice wychodzą różne, więc pochodna w x=π nie istnieje. (jesli popełniłem jakiś banalny błąd to przepraszam za zakłócanie porządku...)

Basia: O Chryste Panie ! Zgłupiałam kompletnie ! Oczywiście udowodniłam, że f(x)=sinx jest różniczkowalna. Gdzieś mi ta wartość bezwzględna "po drodze" uciekła. To miało być:

|sin(2kπ+h)|−|sin2kπ|
h

i oczywiście lewostronna wyjdzie −1, a prawostronna 1

Jack: Tak naprawdę to "na oko" powinno być jasne, że skoro funkcja jest "ostra" (ma kształt ostrego szpikulca) w jakimś punkcie to nie może mieć w nim pochodnej. No ale dobrze że się wyjaśniło