Odgadując jeden z pierwiastków oblicz pozostałe: Liczby zespolone: Odgadując jeden z pierwiastków oblicz pozostałe: ⁴√(2−2i)¹²

Basia: pierwiastków czego ? pierwiastki ma równanie, w którym jest jakaś niewiadoma tu jest konkretna liczba, można ją przedstawić w prostszej postaci i nic więcej

Liczby zespolone: pierwiastkowanie liczby zespolonej tylko to jest taki przypadek gdzie znając jeden można łatwo policzyć pozostałe...

Liczby zespolone: umie ktoś to tak pokazać ? Zacząłem to robić tak, że uprościłem pierwiastek i wyszło (2−2i)³ i korzystając ze wzorów kogoś tam wyliczyłem jeden pierwiastek 16 + 16i, tylko jak wyliczyć teraz kolejne? albo jak je geometrycznie wyznaczyć?

Basia: myślę, że trzeba liczbę 2−2i przedstawić w postaci trygonometrycznej 2−2i = √8(cos^π₄+isin^π₄) potem nie upraszczając pierwiastków policzyć (2−2i)¹² = √8¹²(cos3π+isin3π) = 8⁶(cos3π+isin3π) i zastosować wzór na ⁿ√z ⁴√(2−2i)¹² = ⁴√8⁶(cos^3π+2kπ₄+isin^3π+2kπ₄) =((2³)⁶)^1/4(cos^(2k+3)π₄+isin^(2k+3)π₄)= (2^18/4)(cos^(2k+3)π₄+isin^(2k+3)π₄)= 2^4+1₂(cos^(2k+3)π₄+isin^(2k+3)π₄)= 64√2(cos^(2k+3)π₄+isin^(2k+3)π₄)= i teraz podstawiając za k kolejno 0,1,2,.... −1,−2,−3 znaleźć wszystkie czyli szukać dopóki nie zaczną się powtarzać

Liczby zespolone: dzięki Basia jednak nie do końca o to mi chodziło, bo w tym zadaniu muszę chyba skorzystać z tego że te pierwiastki są wierzchołkami kwadratu i leżą na okręgu o S=[0,0] i r w tym przypadku chyba 2√2, czyli mając jeden 16 + 16i można podać kolejne. Jak to zrobić ? W tym przypadku akurat łatwo podać ale chodzi i o to w jaki sposób się to wyznacza, np gdy ten kwadracik będzie trochę obrócony w tym przypadku: ⁴√−8+8√3i w₀=√3 + i w₁,w₂,w₃ ? wiem że któryś z pierwiastków będzie −√3 − 1bo po przekątnej, tylko który?

Basia: niekoniecznie kwadratu pierwiastki leżą na jednym okręgu o środku w punkcie O(0,0) i promieniu równym modułowi pierwiastka oraz pierwiastki dzielą okręg na n równych części (n to stopień pierwiastka czyli u Ciebie na 12) ale z tego się korzysta przy ich zaznaczaniu na płaszczyźnie a nie przy ich obliczaniu

Basia: oj nie, pomyliłam się u Ciebie rzeczywiście 4 a przy 4 to prosta sprawa (a,b) (−b,a) (−a,−b) (a,−b) czyli 16+16i −16+16i −16−16i 16−16i

Basia: poprawka: (a,b) (−b,a) (−a,−b) (b,−a) czyli 16+16i −16+16i −16−16i 16−16i wyniku to nie zmieniło bo tutaj a=b ale ogólna zasada dla n=4 jest taka jak to na niebiesko

Liczby zespolone: chyba właśnie o to mi chodziło: a przy 4 to prosta sprawa (a,b) (−b,a) (−a,−b) (a,−b) czyli w każdym pierwiastku 4−tego stopnia tak będzie z tymi znakami? a jak będzie w przypadku pierwiastka 3−ego stopnia? np.³√−27i

Basia: tak, okrąg ma 360 st. czyli podzielony na 4 to będzie co 90 st. i zawsze tak się współrzędne ułożą narysuj w układzie współrzędnych dwie proste prostopadłe przechodzące przez początek układu na kratkowanym papierze od razu to widać

Basia: przy pierwiastku 3−stopnia to będzie co 120 stopni i już nie ma lekko; trzeba liczyć lekko jest tylko przy 2: (a,b) (−a,−b) przy 4 jak wyżej i przy 8: (a,b) (−b,a) (−a,−b) (a,−b) (b,a) (a,−b) (−b,−a) (−b,a) przy 120 jeżeli mamy (a,b) to a=|z|cosφ b=|z|sinφ

	a2
a1=|z|cos(φ+120)=|z|(cos2φ−sin2120) = |z|(		−34}
	|z|2

	1	a		√3	b
b1=|z|sin(φ+120)=|z|(sinφcos120+sin120cosφ)=|z|(−			+			)=
	2	|z|		2	|z|

	1		√3
−		a+		b
	2		2

itd. moim zdaniem wtedy łatwiej z postaci trygonometrycznej

Liczby zespolone: tak jednak łatwiej z postaci tryg. przy trzech pierwiastkach, dzięki trochę mi się rozjaśniło

Dudi: Mam pytanie skąd się wziął kąt pi czwartych?

Dudi: "myślę, że trzeba liczbę 2−2i przedstawić w postaci trygonometrycznej 2−2i = √8[cos(π/4)+isin(π/4)]" √8 to rozumiem, że chyba wzięło się z tego, że 12−4=8. A kąt π/4 wziął z tego, że 2π/8 = π/4? Mam podobne zadanie... Pierwiastek 3 stopnia z (−2−2i) Zrobiłem źle zadanie − wyszły mi 2 liczby (na dodatek na przeciwko siebie na układzie współrzędnych) zamiast 3 (porównałem je potem z tą liczbą i równość nie zachodziła, ale różniły się tylko znakiem, więc domyśliłem się, że będzie to liczba która jest o π/2 od nich i faktycznie 1 z nich spełniała warunki zadania). Wiedząc, że kolejne są co 120 stopni wyliczyłem pozostałe 2, tak więc mam wyniki: 1−i, [(√3)−1]/2 + i*[(√3)+1]/2, [−1−(√3)]/2 + i*[1−(√3)]/2 Jak się przedstawia w postaci trygonometrycznej liczbę? Czy to będzie tak? −2−2i = sqrt(1/3)*(cos2π/3+i*sin2π/3) ?

Dudi: Skąd ten √8...

Dudi: OK już, wiem odległość

Dudi: Ale jak policzyć wyrażenie: (8¹,5)*{−0,5+[i*sqrt(3)/2]} ?

Dudi: przepraszam: sqrt(8³)*{−0,5+[i*sqrt(3)/2]}

Dudi: ok poradziłem sobie ale tam w 4 poście jest chyba błąd: 2⁴ to nie jest 64 a 16

Dudi: Mam bardzo ważne pytanie Czy dla pierwiastków sześciennych trzy rozwiązania zawsze znajdują się na takich samych kątach? na 0, 120 i 240 stopniach?