Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym Matylda: Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a) u_n = ³√n³ + 4n² − n b) u_n = n³√2 − ³√2n³ + 5n² − 7 c) u_n = ⁻⁸ⁿ⁻¹_7ⁿ⁺¹ d) u_n = (³₂)^{n 2n+1 − 1}_3ⁿ⁺¹ −1 Nie wychodzi mi. Mógłby ktoś pomóc? W przykładzie d) w mianowniku jest 3ⁿ⁺¹ − 1

Avc: a) n³ + 4n² − n³ lim_n→∞ (³√n³+4n²−³√n³) = lim_n→∞ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (³√n³+4n²)²+n³√n³+4n²+n² Skorzystałem ze wzoru a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)

	(a−b)(a2+ab+b2)		a3−b3
a−b =		=
	a2+ab+b2		a2+ab+b2

n² * 4 lim_n→∞ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = n²(³√1+4/n)²+n²³√1+4/n+n² 4

	4
= limn→∞ −−−−−−−−−−−−−−−−−−− =
	3

(³√1+4/n)²+³√1+4/n+1

Avc: W przykładzie b) w ten sam sposób A c) i d) jest nieczytelne

Grześ: Popraw c) i d) to pomożemy Zapisz tak Licznik:.... Mianownik:...

Matylda: dobrze c) licznik: −8ⁿ⁻¹ mianownik: 7ⁿ⁺¹ d) (³₂)ⁿ * licznik: 2ⁿ⁺¹ −1 mianownik: 3ⁿ⁺¹ −1

Godzio:

	−8n − 1		1   − * 8n   8
c) limn→∞		= limn→∞		=
	7n + 1		7 * 7n

	1		8		1
limn→∞−		* (		)n = −		* ∞ = −∞
	56		7		56

Avc:

(3/2)n*2*2n−1		2*(3/2)n*(2/3)n−1/3n
	=
3*3n−1		3−1/3n

Podzieliłem licznik i mianownik przez 3ⁿ

	2−1/3n
=
	3−1/3n

Teraz widać jaka będzie granica

Godzio:

	3		2n + 1 − 1		2 * 6n − 3n
(		)n *		=		=
	2		3n + 1 − 1		3 * 6n − 2n

dzielę licznik i mianownik przez 6ⁿ

3   2 − ( )n   6		2
	=
2   3 − ( )n   6		3

Avc: ⋀ | d)

Matylda: Dziękuję za pomoc, jesteście wspaniali Mam jednak mały problem z przykładem a) Avc rozpisał to, tylko że nie wiem, skąd wzięło się n² przed pierwiastkiem ³√1+4/n+n² (czwarty wers) I jeszcze pytanie odnośnie przykładu c), który wyliczył Godzio. −8ⁿ⁻¹ rozpisał jako −¹₈ * 8ⁿ. Czy nie powinno być −¹₈ * (−8)ⁿ? Przykład b) spróbuję rozwiązać, jak będę miała problem, to zapytam. Pozdrawiam

Godzio: nie bo − nie mieści się pod potęgom

Avc: (³√n³+4n²)²=(n³√1+4/n)² = n² * (³√1+4/n)^{2 3}√n³+4n²*³√n³ = n³√1+4/n*n= n² * ³√1+4/n

Matylda: Dziękuję bardzo za odpowiedź

gosia: (2n−1)³}{(4n−1)²(1−5n)

mala: √n²+n − n

mala: jak to zrobic

Olek: Wiem, że trochę za późno, ale sam się z tym trochę męczyłem i komuś może się jeszcze przydać: √n²+n−n = n²+n−n² / √n²+n+n −> n / √n²+n+n = ¹₂, bo n dąży do nieskończoności oraz √n²+n i n dążą do nieskończoności, czyli to jest nieskończoność przez nieskończoność + nieskończoność. czyli ¹₂. Tak, wiem, to jest trochę idiotyczne, ale tak to wychodzi