Pytanie Godzio: Witam, mógłby ktoś mi wytłumaczyć funkcję odwrotną o co z nią chodzi na jakimś nie trudnym przykładzie ? bo czytam o tym i nie mogę zrozumieć

Basia: y=f(x) = 2x wyznacz teraz x x = ¹₂y czyli funkcja odwrotna to f⁻¹(x)=¹₂x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− y=f(x) = x² funkcja odwrotna nie istnieje bo początkowa nie jest różnowartościowa ale w przedziale <0,+∞) możesz ją wyznaczyć x = √y f⁻¹(x) = √x w przedziale (−∞,0> też możesz x=√−y f⁻¹(x)=√−x

Godzio:

	1
a np. y =		to:
	x

	1
x =
	y

	1
f−1(x) =		?
	x

Basia: x 1 2 3 4 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f(x) 3 6 9 12 x 3 6 9 12 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f⁻¹(x) 1 2 3 4 tak to mniej więcej działa f: x → y f⁻¹: y → x dlatego f musi być różnowartościowa

Basia: tak; f(x)=¹_x sama dla siebie jest odwrotna

Godzio: Aha, czyli ogólnie to jeżeli funkcja jest różnowartościowa, to wyznaczamy z niej x i w funkcji odwrotnej podmieniamy x z y Dzięki Basia Porobię zaraz trudniejsze przykłady zobaczę czy będzie mi wychodzić

AS: Dana jest funkcja y = f(x). Funkcję x = φ(y) nazywamy funkcją odwrotną względem funkcji y = f(x). Wyznaczyć funkcję odwrotną do podanej funkcji Przykład 1

	2x − 3
y =		⇒ y*(5x + 1) = 2x − 3 ⇒ 5xy + y = 2x − 3
	5x + 1

	y + 3
2x − 5xy = y + 3 ⇒ x(2 − 5y) = y + 3 ⇒ x =		funkcja odwrotna
	2 − 5y

Najczęściej dokonuje się zamiany zmiennych do postaci

	x + 3
y =
	2 − 5x

Przykład 2 y = x² w przedziale 0 ≤ x < ∞ ma funkcję odwrotną y =√x Przykład 3 y = a^x funkcja odwrotna x = log_ay Funkcja odwracalna musi być jednoznaczna i jednokrotna. Jednoznaczna − różnym wartościom y odpowiadają różne wartości x Jednokrotna − różnym wartościom x odpowiadają różne wartości y. Wykres funkcji danej i odwrotnej jest symetrycznie położony względem prostej y = x (dwusieczna pierwszej ćwiartki)

Basia: zauważ, że f⁻¹(f(x))=x bo y=f(x) ⇒ f⁻¹(y)=x czyli f⁻¹(f(x))=f⁻¹(y)=x czyli złożenie funkcji z funkcją do niej odwrotną daje zawsze funkcję tożsamościową

Godzio: 1. y = x³ + 1 x³ = y − 1 ⇒ x = ³√y − 1 ⇒ f⁻¹(x) = ³√x − 1 2. y = √x + 1 na [0,∞) √x = y − 1 ⇒ x = (y − 1)² ⇒ f⁻¹(x) = (x − 1)² = x² − 2x + 1 W tym przykładzie nie wiem jak hmmm 3.

	⎧	2x dla x ∊ Q
y =	⎨
	⎩	−3x dla x ∉ Q

y = 2^x ⇒ log₂y = x y = −3^x ⇒ hmm ?

Basia: 1,2,3a dobrze 3b. y=−3^x <0 −y = 3^x x = log₃(−y)

Godzio: ano rzeczywiście, trzeba po prostu było przerzucić znak Dzięki wielki wam Myślę że teraz sobie już poradzę

Basia: powodzenia, ja muszę kończyć

Godzio: