Zadanie z tegorocznej olimpiady matematycznej gimnazjalistów. Ktos: Witam! 25 października minął termin wysyłania prac, więc już spokojnie można pytać, a jestem ciekaw, jakbyście rozwiązali jedno zadanie z tejże olimpiady Ma ono następującą treść: Udowodnij, że nie istnieją takie nieparzyste a i b, aby zachodziła równość: a²−b³=4 Pozdrawiam.

Basia: Myślę, ale na razie wszystkie pomysły do kitu. Może Think, ona lubi liczby, ja nie jestem w tym zbyt mocna.

Basia: no i gdzie tam mam tego szukać ?

Basia: Nic nie wymyśliłam, a jestem ciekawa. Podbijam.

AS: Przyjmuję a = 2*m + 1 , b = 2*n + 1 , m,n ∊ C Wtedy (2*m + 1)² − (2*n + 1)³ = 4 4*m² + 4*m + 1 − 8*n³ − 12*n² − 6*n − 1 − 4 = 0 |:2 2*m² + 2*m − 4*n³ − 6*n² − 3*n − 2 = 0 2*(m² + m − 2*n³ − 3*n² − 1) = 3*n [1] Przypadek 1: n = 2*k + 1 (nieparzysta) W [1] sprzeczność , bo lewa strona będzie parzysta , prawa nieparzysta Przypadek 2: n = 2*k (parzysta) Rozważam nawias w wyrażeniu [1] dla n = 2*k m² + m − 2*n³ − 3*n² − 1 = m² + m − 16*k³ − 12*k² − 1 = m*(m + 1) − (16*k³ + 12*k² + 1) m*(m + 1) parzysta dla dowolnego m 16*k³ + 12*k² + 1 nieparzysta dla dowolnego k Badana różnica będzie nieparzysta dla dowolnych m i k (parzysta − nieparzysta) Wobec tego w [1] lewa strona będzie parzysta , prawa neparzysta a więc badana równość nie może zajść.

think: chyba nie zauważyłam tego zadania ale dziękuję Basiu za dobre słowo