Indukcja Antonio: Dowód indukcyjny nierówności Bernoulliego prosze o pomoc (1+x)ⁿ ≥1+nx 1. Sprawdzam prawdziwość nierówności dla n=1 (1+x)¹ ≥1+1*x L=P 2.Zakładam że nierówność zachodzi dla pewnej liczby k ≥1 (1+x)^k ≥ 1+ k*x 3. Udowadniam że zachodzi nierówność dla k+1 korzystając z założenia i i w tym punkcie nie wiem co począć proszę bardzo o pomoc

Grześ: Podstaw k+1: (1+x)^k+1≥1+(k+1)x (1+x)^k*(1+x)≥1+kx+x Nie jestem pewien co dalej trzeba zrobić, ale po dwóch stronach mamy podobne wyrazy, jak w 2. punkcie. Może ktoś pomoże

Antonio: zapomniałem że (1+x)^k+1 można rozpisać na (1+x)^k*(1+x) później będzie chyba 1+kx+x+kx² > 1+(k+1)x

Grześ: Kombinuj kombinuj, ja dokładnie tych dowodów nie umiem, ale chyba trochę rozjaśniłem

Antonio: oczywiście dzięki Grześ

Basia: Teza indukcyjna ma postać: (1+x)^k+1 ≥ 1+(k+1)x = 1+kx + x (1+x)^k+1 = (1+x)^k(1+x) ≥ (1+kx)(1+x) = 1+x+kx+kx² ≥ 1+kx + x z tym, że to jest prawda wyłącznie dla x>−1 dlaczego ?

Antonio: bo gdy będzie mniejszy od −1 to ta nierówność nie będzie prawdziwa ? mam w notatkach właśnie zapisane Jeżeli x>−1 to dla dowolnej liczny naturalnej (1+x)ⁿ ≥1+nx

Basia: nie wiem czy nie będzie; jakoś nie mogę znaleźć kontrprzykładu, ale nie da się udowodnić w dowodzie korzystamy z tego, że (1+x)^k ≥ 1+kx i mnożymy to przez (1+x) kierunek nierówności się nie zmieni ⇔ 1+x>0 ⇔ x>−1

Basia: a jest i kontrprzykład x=−101 n=3 (1+x)³ = (−100)³ = −100³ = −10⁶ = −1 000 000 1+nx = 1+2*(−101) = 1−202=−201 −1 000 000 < −201

Antonio: Muszę to przeanalizować wszystko, dziękuję bardzo za pomoc.