pochodna x^2(x-1)^3 adrian: Witam, mógłby ktoś mi pomóc z rozwiązaniem tej pochodnej x²(x−1)³ Wyszło mi coś takiego 2x(x−1)³ + x² * 3(x−1)² , mógłby ktoś dać podpowiedź co zrobić teraz ?

Jack: pochodną juz policzyłeś. Jak chcesz możesz sobie wyciągnąć jeszcze wspólny czynnik x(x−2)² przed nawias. Nie wiem, jakie masz polecenie.

Jack: Wspólny czynnik: x(x−1)².

adrian: mam obliczyć pochodną w jednym zadaniu a w drugim z tej pochodnej podac gdzie funkcja jest malejąca a gdzie rosnąca , jutro spróbuję jak mi wyjdzie z tym wyciągnięciem przed nawias ,bo jak liczyłem ja sam to mi wychodziło x5 a chyba nie powinno

adrian: x(x−1)²( (2(x−1) + 3x) czy to jest dobre rozwiązanie ? czy gdzieś się pomyliłem

Basia: dobrze, ale trzeba dokończyć =x(x−1)²(2x−2+3x)=x(5x−2)(x−1)² teraz szukasz miejsc zerowych i badasz znak pochodnej m.zerowe x(5x−2)(x−1)²=0 ⇔ x=0 ∨ 5x−2=0 ∨ x−1=0 ⇔ x=0 ∨ x=²₅ ∨ x=1 znak pochodnej (x−1)²≥0 dla każdego x∊R czyli znak pochodnej zależy tylko od znaku wyrażenia x(5x−2) narysuj sobie wykresy y=x y=5x−2 i badaj znak po kolei w przedziałach (−∞,0) (0,²₅) (²₅,1) (1,+∞) tam gdzie pochodna jest dodatnie f.jest rosnąca tam gdzie pochodna jest ujemna f.jest malejąca tam gdzie pochodna =0 i zmienia znak masz ekstrema lokalne tam gdzie pochodna =0 i nie zmienia znaku masz punkt przegięcia

Bogdan: y = x²(x − 1)³

	5
y' = 2x(x−1)3+3x2(x−1)2 = x(x−1)2(2x−2+3x) = x(x − 1)2(5x − 2) = 5x(x − 1)2(x −		)
	2

Określając znak pochodnej, np. z takiego szkicu, można ustalić monotoniczność funkcji.

Bogdan:

	5		2
Przepraszam za chochlika, zamiast		ma być		, zmieni się również rysunek.
	2		5

Bogdan:

	2
y' = 5x(x − 1)2(x −		)
	5

Basia: Witaj Bogdanie Obrazek też musi niestety inaczej wyglądać jako, że ²₅<1 w przeciwieństwie do.... chochlika

Bogdan: Witaj Basiu , już poprawiłem

Basia: Uprzedziłeś mnie, więc już się nie wysilam, ale moim zdaniem normalny wykres jest o wiele bardziej czytelny, szczególnie dla kogoś kto nijak nie wie dlaczego np. w przedziale (−∞,0) całość jest dodatnia. Na wykresie widać znaki każdego ze składników. No i potem wiadomo (−)*(−) = (+) itd.

Basia: Chociaż możliwe, że to kwestia przyzwyczajenia.

adrian: dziekuję bardzo nie liczyłem aż na taką pomoc , pózniej usiądę i przeanalizuję sobie ten przykład bo chce dobrze wypasc

Bogdan: Sporządzanie takiego rysunku uczniowie uczą się już w szkole średniej przy rozwiązywaniu nierówności wielomianowych, to tzw. "fala". Naszkicowanie fali nie powinno sprawiać trudności.

adrian: w miejscu zerowym 1 "fala" nie przechodzi tylko się odbija bo mamy do czynienia z parzystokrotną potęgą mianowicie (x−1)² ?

Bogdan: Tak

adrian: dziękuję za pomoc i za wszelkie wyjaśnienia

Basia: Znam szkoły i nauczycieli, którzy ignorują falę i posługują się właśnie wykresami no i siłą rzeczy znam uczniów, którzy o fali nigdy nie słyszeli i wcale nie dlatego, że chodzili na wagary, albo myśleli o niebieskich migdałach. Dlatego zwykle pytam o znajomość tego zagadnienia. Tu jakoś zapomniałam.

:P: 4²

Anna: (x−1/2)²