Liczby zespolone
Keisim:
Witam, czy orientuje się ktoś w liczbach zespolonych?
Oblicz:
( 2 + i )7 − ( 2 − i )7 =
Wskazówka: wykorzystać fakt, że jest to różnica wyrazów sprzężonych.
Oczywiście obliczyłem to na około, czyli skorzystałem z wzorów skróconego mnożenia i wynik się
zgadza, ale nie mam pojęcia jak to zrobić krótszą metodą, może ktoś mnie poratuje... w sensie
jak wykorzystać wskazówkę...
28 paź 22:23
Krzysiek: Nie wiem czy właśnie o to chodzi, ale moja porada:
Jak podnosisz do jakiejś dużej potęgi − zawsze zamieniaj na formę eiθ
Wtedy to się w jednej linijce oblicza.
28 paź 22:29
Keisim: Czy
u
Was
też
nie
łamie
wierszy?
28 paź 22:29
Basia:
łamie, tylko jakoś nierówno
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
cccccccccccccccccccccccccccc
to pisałam "ciurkiem"
28 paź 23:07
Jack:
spróbuj może przedstawić jako sumy z dwumianu Newtona, wtedy skasuje się co drugi wyraz, a co
reszta podwoi i zostanie:
Teraz 2i przed nawias i coś sensownego wyjdzie.
28 paź 23:25
Basia:
można tak:
z = |z|*eiφ ⇒ zsp = |z|*ei(2π−φ)
tyle, że tu będzie kłopot z wyznaczeniem φ
może później coś mi przyjdzie do głowy
28 paź 23:29
Godzio: A tak z ciekawości to tu nie można skorzystać z postaci trygonometrycznej ?
28 paź 23:30
Jack:
ten kąt φ będzie nieprzyjemny...
28 paź 23:34
Krzysiek: 2 + i =
√5 e
iθ
2 − i =
√5 e
−iθ
wtedy:
(2 + i)
7 − (2 − i)
7 =
√5(e
7iθ − e
−7iθ) =
√5 * 2i * sin(7θ)
No ale jeśli potrzebny jest dokładny wynik to faktycznie nie jest najlepszy pomysł...
28 paź 23:35
Godzio: Aha, w ten sposób
28 paź 23:36
Jack:
...= √57 (e7φi−e−7φi), jesli dobrze patrzę.
28 paź 23:47
Krzysiek: zgadza się, dzięki
28 paź 23:54
Jack:
my również.
28 paź 23:55
AS: To mi się nie podoba − z moich obliczeń mam −58i
Przecież wykonując wskazane działania wszystkie współczynniki muszą być
całkowite a więc i wynik końcowy musi być wyrażony w liczbach całkowitych.
29 paź 16:40
Basia:
Bo tak jest
Asie, a to nie są obliczenia tylko czysto teoretyczne rozważania jak sprytnie
(i zgodnie ze wskazówką) wykorzystać fakt, że te dwie liczby są sprzężone, które to rozważania
do niczego nie doprowadziły.
Niby wiem jak to sprzężenie wykorzystać, ale liczenia jest przy tym więcej niż przy zwykłym
potęgowaniu.
z=2+i
z
sp=2−i
|z| = |z
sp|=
√4+1=
√5
z=
√5(cosφ+isinφ)
z
sp =
√5(cosφ−isinφ)
| | 2 | | 1 | |
gdzie cosφ= |
| sinφ= |
| |
| | √5 | | √5 | |
z
7 = (
√5)
7(cos7φ+isin7φ)
z
sp7=(
√5)
7(cos7φ−isin7φ)
z
7−z
sp7 = 2*(
√5)
7*i*sin7φ
mając sinφ i cosφ mogę policzyć sin7φ, ale mi się nie chce
29 paź 17:37
Basia:
no chyba, że z ciekawości
| | 1 | | 2 | | 4 | |
sin2φ = 2sinφcosφ=2* |
| * |
| = |
| |
| | √5 | | √5 | | 5 | |
| | 4 | | 1 | | 3 | |
cos2φ=cos2φ−sin2φ = |
| − |
| = |
| |
| | 5 | | 5 | | 5 | |
| | 4 | | 3 | | 24 | |
sin4φ = 2sin2φcos2φ = 2* |
| * |
| = |
| |
| | 5 | | 5 | | 25 | |
| | 16 | | 9 | | 7 | |
cos4φ=cos22φ−sin22φ= |
| − |
| = |
| |
| | 25 | | 25 | | 25 | |
| | 4 | | 7 | | 24 | | 3 | |
sin6φ = sin2φ*cos4φ+sin4φ*cos2φ= |
| * |
| + |
| * |
| = |
| | 5 | | 25 | | 25 | | 5 | |
| 28 | | 72 | | 100 | | 4 | |
| + |
| = |
| = |
| |
| 125 | | 125 | | 125 | | 5 | |
| | 3 | | 7 | | 4 | | 24 | |
cos6φ=cos2φ*cos4φ−sin2φ*sin4φ = |
| * |
| − |
| * |
| = |
| | 5 | | 25 | | 5 | | 25 | |
| 21 | | 96 | | 75 | | 3 | |
| − |
| = − |
| = − |
| |
| 125 | | 125 | | 125 | | 5 | |
sin7φ=sin 6φ*cosφ+sinφ*cos6φ =
| 8 | | 3 | | 5 | | 1 | |
| − |
| = |
| = |
| |
| 5√5 | | 5√5 | | 5√5 | | √5 | |
| | 1 | |
z7−zsp7 = 2*(√5)7* |
| *i = 2*√56*i = 2*53*i = 250i |
| | √5 | |
no inaczej mi wyszło, ale mogłam się gdzieś pomylić
29 paź 18:14
Jack:
z mojego dwumianu wychodzi −58i...
29 paź 19:16
Basia:
i tak ma być, też mi tak wychodzi z dwumianu, musiałam się tam gdzieś w tych sinusach,
cosinusach pomylić
29 paź 21:23
Basia:
już przy cos4φ się pomyliłam
29 paź 23:37
