oblicz monika:

	x3 −2
Oblicz limx→1
	X2−3x+2

moj pomysł na to był taki zeby X²−3x+2 przekształcic do postaci iloczynowej czyli (x−1)(x−2),

	0
ale co z tego jak nadal mi wychodzi		, a wogóle co powinnam zrobic z
	0

x³ −2 ? i czy moj pomysł jest dobry?

Krzysiek:

	0
Czemu mówisz że wychodzi		?
	0

	−1
Mi wyszło
	0

monika: wsumie tak masz racje ale to mimo wszystko wyrazenie nieoznaczone..

Krzysiek: Nieprawda, to −∞ (Weź −1 i dziel przez coraz mniejsze liczby) Wyrażenia nieoznaczone to takie, które nie wiadomo co znaczą:

∞		0
	;		; ∞ − ∞ ; ...
∞		0

monika: tak tez miałam w notatkach −1/0 nie było wpisane jako wyrazenie nieoznaczone. ale mimo wszystko cos tu jest nie tak przeciez nie można dzielic przez zero wiec jak to jest

	2
czyli rozwiązaniem takiego przykładu bedzie −∞, a np gdyby mi wyszło		to wtedy
	0

rozwiazaniem jest +∞ tak

Grześ: Ale żeby określić granicę tak jak Krzysiek mówi, to trzeba z dwóch stron sprawdzić, czyli liczba troszkę mniejsza od 1czyli tzw. 1⁻ i liczba troszkę większa od jeden 1⁺. Wynik wyjdzie taki, że nie istnieje granica dla tego wyrażenia, bo jest on rozbieżny

Bogdan: W tym przypadku trzeba wyznaczyć granice jednostronne: lim f(x) x→1⁻ lim f(x) x→1⁺

Krzysiek: tak. Właśnie o to chodzi w granicach.

	1
Weźmy prostszy przykład: f(x) =
	x2

	1
Ta funkcja ma wartości wszędzie: w x=1 mamy wartość 1 , w x=−3 mamy wartość		itd
	9

...wszędzie, tylko nie w x=0, właśnie dlatego, że nie można dzielić przez 0 Ale granica mówi nam do jakiej wartości dąży funkcja w danym punkcie

	1
Przy x dążącym do1 funkcja dąży do 1 ; przy x dążącym do −3 funkcja dąży do
	9

Im bliżej jesteśmy x=0, tym bardziej funkcja rośnie (dzielimy 1 przez liczby coraz bliższe zera). Więc mówimy że przy x dążącym do 0 funkcja dąży do ∞

Krzysiek: Faktycznie. Nie zastanowiłem się czy jest taka sama z obu stron.

monika:

	−1
czyli zeby wyznaczyc granice z dwóch stron to pod to co mi wyszło czyli		podstawiam
	0

najpierw liczby ujemne (jedna strona) i potem dodatnie (druga strona), poniewaz jedna strona nie jest rowna drugiej (po jednej dodatnie a po drugiej ujemne liczby) to jst rozbiezne i nie ma granicy?

Krzysiek: Nie wiem na ile to jest formalne, ale jeśli podstawisz np −1.1 i −0.9 i raz wyjdzie bardzo dużo na minusie a raz na plusie − to nie ma granicy. Możesz to potwierdzić rysując wykres tej funkcji. Zobaczysz jak ona się zachowuje koło x=−1 Ale formalne obliczenia już zostawiam mądrzejszym ode mnie.

Basia: wystarczy zająć się mianownikiem x²−3x+2 = (x−1)(x−2)

	1
x→1− ⇒ x2−3x+2 → 0+ (przez wartości dodatnie) ⇒		→ +∞ ⇒
	x2−3x+2

	1
(x3−2)*		→ −1*(+∞)= − ∞
	x2−3x+2

	1
x→1+ ⇒ x2−3x+2 → 0− (przez wartości ujemne) ⇒		→ −∞ ⇒
	x2−3x+2

	1
(x3−2)*		→ −1*(−∞)= + ∞
	x2−3x+2

stąd: lim_x→1⁻ f(x) ≠ lim_x→1⁺ czyli lim_x→1 f(x) nie istnieje