Krótki opis zadania Kasiia: Pokazać, że dla dowolnego n naturalnego takiego, że n≥5 zachodzi 2ⁿ>n².

Jack: kluczowy krok: 2k²>(k+1)² bo 2k²−k²−2k−1=k²−2k−1=k²−2k+1−2=(k−1)²−2=(k−1−√2)(k−1+√2). Dla k>1+√2 (k−1−√2)(k−1+√2)>0

Kasiia: Nie bardzo rozumiem skąd Ci to wyszło... Ja to próbowałam indukcyjnie i dochodzę do momentu 2n²+4n+2>n²+4n+4, czyli trzeba jakoś udowodnić, że n²+2>4...

Jack: 2. 2^k>k² 3. 2^k+1>(k+1)² − do wykazania 2^k+1=2*2^k>2*k². Teraz pozostaje wykazać, że 2k²>(k+1)² * − założenie indukcyjne.

marcinex1232: Kasiia: Nie bardzo rozumiem skąd Ci to wyszło... Ja to próbowałam indukcyjnie i dochodzę do momentu 2²+4n+2>n²+4n+4, czyli trzeba jakoś udowodnić, że n²+2>4... Biorąc pod uwagę założenia zadania każdy podstawiony n większy lub równy 5 spełnia to równanie