liczby zespolone STUDENT: Proszę o pomoc Liczby zespolone znajdz zbiór spełniający warunek sin|z| ≥0 z−liczba zespolona czyli będzie 0 ≤ sin|z| ≤ 1 i nie wiem co dalej może coś z tym że |z|=√x+iy

STUDENT: ?

STUDENT:

STUDENT: ?

Jack:

	eiz−e−iz
probowałeś zamieć to ze wzroru sinz=		?
	2i

STUDENT: nie, a jest taki wzór

STUDENT: ?

Jack: ano jest.

STUDENT: a jak sie on nazywa bo chciałbym go znaleść w necie i przeanalizować ( nie ma innej metody)

STUDENT: bo ten wzór jest troche podobny do sin hiperbolicznego

Jack: na Wikipedii znajdziesz na pewno. Wyprowadza się go liczbąc szereg Taylora dla e^z. Podobny jest dla cos z. Czy tym sposobem wyjdzie? Nie wiem. Czy jest inny? Też nie wiem − tylko zasugerowałem.

STUDENT: ok dzięki

STUDENT: a wiesz jak zrobić coś takiego | 1−iz | ≤ 3 mam to narysować ale jak to jakoś ładnie zamienić?

Jack: policz moduł, podnieś obie strony do kwadratu − wyjdzie Ci z²≤8. Potem pierwiastek z tego wyciągnij. Jeśli się nie mylę, to wyjdzie pierścień.

Jack: |−i|*|z−1|≤3 |z+i|≤3 koło o środku w −i i promieniu ≤3

Basia: wydaje mi się, że to będzie raczej tak: z=a+bi 1−iz=1−i(a+bi)=1−ai−bi²=1−ai+b = (1+b)−ai |1−zi| = √(1+b)²+(−a)² = √a²+(1+b)²≤3 stąd: a²+(1+b)²≤9 czyli na płaszczyźnie jest to koło: S(0,−1) r=3

Basia: z=x+yi |z|=√x²+y² sin√x²+y²≥0 ⇔ 2kπ≤√x²+y²≤(2k+1)π ⇔ 4k²π²≤x²+y²≤(2k+1)²π² np. dla k=0 0≤x²+y²≤π² czyli masz koło S(0,0) i r=π dla k=1 4π²≤x²+y²≤9π² czyli masz pierścień S(0,0) r₁=2π r₂=3π uogólnienie: dla k=0 jak wyżej: koło S(0,0) i r=π dla każdego k≥1 pierścień: S(0,0) r₁=2kπ r₂=(2k+1)π a zastanów się dlaczego nic nie napisałam o liczbach ujemnych k=−1,−2,−3,............

think: Basiu wróciłaś jak ja dawno Ciebie nie widziałam, normalnie się stęskniłam za Tobą!

Basia: Witaj ! Też się stęskniłam. Postaram się teraz bywać częściej. Może nie codziennie, ale na pewno co kilka dni.

Jack: punkt |i−z|≤3 wyszedł nam dokładnie tak samo.

Basia: Witaj Jack Oczywiście tak. Wydaje mi się tylko, że skoro zadanie polega na zaznaczeniu obszaru w układzie współrzędnych kartezjańskich bardziej czytelne jest posługiwanie się x=Re(z) i y=Im(z).

Jack: Witaj Basiu, Z jednej strony jest to faktycznie czytelniejsze ale skoro mamy i tak liczby zespolone, to warto się przyzwyczajać do osi Re i Im oraz umieć interpretować takie proste nierówności. Gdy się to umie, to staje się to naprawdę proste.