pomóżcie!! maroo: rozstrzygnij, czy istnieją takie liczby całkowite a, b, c, d, e, że a+b+c+d+e=2 i a*b*c*d*e=3¹⁰⁰

Jack: zwróć uwagę na parzystość wyrazów w obu równaniach.

maroo: dobra, ale jak to udowodnić?

Jack: z prawego równania wynika, że każda z liczb a,b,c,d,e jest nieparzysta, czyli jest postaci 2n+1. czyli a=2n+1, b=2m+1 itd jesli teraz je do siebie dodasz dostaniesz liczbę nieparzystą bo 2(m+n+o+p+r) + 5=2(m+n+o+p+r+2)+1 A to ma się równać 2. Widać jednak że lewa strona jest nieparzysta, a prawa parzysta. Sprzeczność.

Jack: a nawet każda z liczb a,b,c,d,e jest potęgą 3... co sprawia że jeszce inaczej można to zapisać.

maroo: ok, dzieki, a moglbys pokazac tez to, ze kazda z tych liczb jest potegą liczby 3

Jack: 3¹00 ma dzielniki jedynie takie, które są potęgami 3 (ponieważ 3 jest l. pierwszą). Stąd, skoro a*b*c*d*e=3¹00 to każda z liczb a,b,c,d,e musi być postaci 3^h_i , gdzie h∊N oraz ∑_i h_i=100

maroo: czyli np liczbe a mozna zapisac tak: a=3k b=3k+3 c=3k+6 itd

maroo: i jedna prosba, jezeli moglbys to rozwiązalbys coś takiego rozwiążw liczbach całkowitych równanie x*y(x+2009*y)=2009²⁰¹⁰

Jack: nie nie, te liczy można zapisać jako potęgi liczby 3 , a nie ich krotności. Dlatego napisałem wyżej 3^h_i.

maroo: aha, juz rozumie a moglbys spojrzec tez na to? rozwiąż w liczbach całkowitych równanie x*y(x+2009*y)=2009²⁰¹⁰

Jack: (x*y)(x+41*49*y)=(49*41)²⁰¹⁰ x²y+41*49y²x=(49*41)²⁰¹⁰ lub jeszcze tak: (x*y)*(x+41*7²*y)=41²⁰¹⁰* 7⁴⁰²⁰ 7 i 41 to liczby pierwsze. Spróbuj coś wymyśleć