rozwiąż równanie kasia: cos^x − 3sinxcosx + 1 = 0

M:

Mariusz: Sprawdźmy najpierw czy

x		π
	=		+ kπ
2		2

zadziała x = π + 2kπ x = (2k+1)π −1 −3*0 + 1 = 0 x = (2k+1)π jest rozwiązaniem równania Sprawdźmy czy istnieją inne rozwiązania cos(x)−3sin(x)cos(x)+1 = 0

	x		x
cos(x) = cos2(		) − sin2(		)
	2		2

// Wzór na cosinus podwojonego kąta

	x   x   cos2( ) − sin2( )   2   2
cos(x) =
	x   x   cos2( ) + sin2( )   2   2

//Dzielenie przez jedynkę nie zmienia wyniku

	x   1 − tg2( )   2
cos(x) =
	x   1 + tg2( )   2

	x		x
sin(x) = 2sin(		)cos(		)
	2		2

// Wzór na sinus podwojonego kąta

	x   x   2sin( )cos( )   2   2
sin(x) =
	x   x   cos2( ) + sin2( )   2   2

//Dzielenie przez jedynkę nie zmienia wyniku

	x   2tg( )   2
sin(x) =
	x   1+tg2( )   2

	x
t = tg(		)
	2

1−t2		6t(1+t2)		(1+t2)2
	−		+		= 0
1+t2		(1+t2)2		(1+t2)2

(1−t²)(1+t²) − 6t(1−t²) + (1+t²)² = 0 1 − t⁴ − 6t + 6t³+1+2t²+t⁴=0 2 − 6t +2t² + 6t³ = 0 1−3t+t²+3t³ = 0|*9 27t³+9t²−27t+9=0 (3t+a)³ = 27t³+27at²+9a²t+a³

	1
a =
	3

	1		1		1		1
(3t+		)3 = 27t3+3*9t2*		+3*3t*		+
	3		3		9		27

	1		1
(3t+		)3 = 27t3 + 9t2 + t +
	3		27

	1		28		1		1		28*3
(3t+		)3 −		(3t+		) = (27t3 + 9t2 + t +		) + (−28t −		)
	3		3		3		27		9*3

	1		28		1		83
(3t+		)3 −		(3t+		) = 27t3 + 9t2 − 27t −
	3		3		3		27

	1		28		1		326
(3t+		)3 −		(3t+		)+		= 27t3 + 9t2 − 27t + 9
	3		3		3		27

	1
3t+		= y
	3

	28		326
y3 −		y +		= 0
	3		27

y = u + v

	28		326
(u+v)3 −		(u+v) +		= 0
	3		27

	28		326
u3+3u2v+3uv2+v3 −		(u+v) +		= 0
	3		27

	326		28
u3+v3 +		+ 3(u+v)uv −		(u+v) = 0
	27		3

	326		28
u3+v3 +		+ 3(u+v)(uv −		) = 0
	27		9

	326
u3+v3 +		= 0
	27

	28
3(u+v)(uv −		)
	9

	326
u3+v3 = −
	27

	28
uv =
	9

	326
u3+v3 = −
	27

	21952
u3v3 =
	729

	326		21952
z2+		z +		= 0
	27		729

	163		21952		26569
(z+		)2 +		−		= 0
	27		729		729

	163		81*57
(z+		)2 −		=0
	27		729

	163−9√57		163+9√57
(z+		)(z+		) = 0
	27		27

	1
y =		(3√−163−9√57+3√−163+9√57)
	3

	1		1
3t+		=		(3√−163−9√57+3√−163+9√57)
	3		3

	1
3t =		(−1 + 3√−163−9√57+3√−163+9√57)
	3

	1
t =		(−1 + 3√−163−9√57+3√−163+9√57)
	9

	1
Niech t =		(−1 + 3√−163−9√57+3√−163+9√57)
	9

x
	= arctg(t) + kπ, k ∊ ℤ
2

x = 2arctg(t) + 2kπ, k ∊ ℤ Ostateczny wynik to x = (2k+1)π ∨ x = 2arctg(t) + 2kπ, k ∊ ℤ

	1
gdzie t = −		(1 + 3√163+9√57+3√163−9√57)
	9

Mariusz: arctg(x) to funkcja odwrotna do funkcji tg(x)

	π		π
przyjmująca wartości z całego R ale zwracająca tylko wartości z przedziału (−		;		)
	2		2