nalepek: 1. Reszta z dzielenia W(x) przez (x-1) wynosi 2, a z dzielenia przez (x-3) jest równa 5. Podaj wielomian R(x), ktory jest resztą dzielenia W(x) przez (x-1)(x-3) 2. Liczba -3 jest miejscem zerowym W(x). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez P(x)=x2-x-12 jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia W(x) przez (x-4) otrzymujemy resztę 14 3. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez trójmian P(x)=x2+2x-8 jest równa R(x)=-5x+2. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (x+4) 4. Oblicz sumę wszystkich współczynników wielomianu W(x)=(x3-x+1)2000+(x2+x-1)2001

Basia: R(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej 1 R(x)=ax+b W(x) = (x-1)(x-3)P(x) + R(x) W(x)= (x-1)Q(x) +2 W(1) = 2 W(x) = (x-3)L(x) + 5 W(3) = 5 W(1) = R(1) = 2 W(3) = R(3) = 5 a*1 + b = 2 a*3 +b = 5 -a -b =-2 3a+b = 5 2a=3 a=3/2 b=2-3/2=1/2 R(x)= 1,5x + 0,5 jesli cos nie jest jasne pytaj

Basia: jak w poprzednim R(x) jest wielomainem stopnia co najwyżej 1 R(x) = ax + b P(x) = (x+3)(x-4) co łatwo obliczyć licząc Δ i pierwiastki W(x) = P(x)*Q(x) + R(x) W(-3) = P(-3)*Q(x) +R(-3) 0 = 0*Q(x) + R(-3) R(-3)=0 ---------------------------- W(4) = P(4)*Q(x) +R(4) 14 = 0*Q(x) +R(4) R(4) =14 ------------------------------ dokończysz ?

Basia: wystarczy zauważyć, że P(x) = x² + 2x - 8 = (x-1)(x+4) co oczywiście widac po policzeniu Δ i pierwiastków z tresci wynika, że W(x) = P(x)*Q(x) - 5x + 2 W(x) = (x+4)(x-1)*Q(x) -5x +2 dzielimy -5x+2 przez x+4 = -5 reszta 22 -5x+2 = -5(x+4) +22 W(x) = (x+4)(x-1)*Q(x) -5(x+4) + 22 W(x) = (x+4) [ (x-1)Q(x) -5 ] +22 czyli reszta z dzielenia przez x+4 wynosi 22

Basia: w 4 to jest razy 2000 i razy 2001 czy do potegi 2000 i do potęgi 2001 ?

nalepek: tak tak, w czwartym to jest do potęgi

Basia: to straszne pisanie bo to same symbole Newtona tam się to potem poredukuje, ale............... w każdym razie korzystamy z wzoru: (a+b)ⁿ = (n nad 0)aⁿb⁰ + (n nad 1)a^n-1b¹ + ......+ (n nad n)a⁽n-n)bⁿ zapisałabym te wyrażenia tak: pierwsze: [ x³ - (x -1) ]²⁰⁰⁰ drugie: [ x² + (x - 1) ]²⁰⁰¹ i próbowała zapisać kilka poczatkowych wyrazów coś sie powinno poredukować, ale na razie za bardzo tego nie widzę może za chwilę coś mnie "natchnie" a jesteś pewny, że tam jest 2001 ?

Basia: a czy w drugim nawiasie nie powinno być też x³ ? miałoby to wtedy ręce i nogi

nalepek: za cholere nie wiem dalej o co chodzi w 16 i 17..

Basia: a co to jest 16 i 17 ?

nalepek: tzn i 1 i w 2 nie wiem i w sumie 3 też nie rozumiem nadal : /

Basia: konkretnie czego ? zadawaj pytania krok po kroku; tylko tak możemy do czegoś dojść

Basia: ale może trochę później, teraz muszę kończyć; przepraszam, ale coś wypadło

nalepek: 1. skąd wiadomo, że R(x) jest co najwyżej stopnia 1 ? R(x)=ax+b W(x) = (x-1)(x-3)P(x) + R(x) to jest dla mnie zrozumiałe tak jak i to: W(x)= (x-1)Q(x) +2 W(1) = 2 W(x) = (x-3)L(x) + 5 W(3) = 5 aaaale: W(1) = R(1) = 2 W(3) = R(3) = 5 skąd to ? 2. W(x) = P(x)*Q(x) + R(x) <-- no to wiem W(-3) = P(-3)*Q(x) +R(-3) <-- to mniej więcej 0 = 0*Q(x) + R(-3) <- to wiem R(-3)=0 <--też ---------------------------- W(4) = P(4)*Q(x) +R(4) <-- tu tak samo jak wyżej 14 = 0*Q(x) +R(4) R(4) =14 ------------------------------ no ale co dalej, bo nie wiem ? 3. od tego momentu: dzielimy -5x+2 przez x+4 = -5 reszta 22 -5x+2 = -5(x+4) +22 W(x) = (x+4)(x-1)*Q(x) -5(x+4) + 22 W(x) = (x+4) [ (x-1)Q(x) -5 ] +22 czyli reszta z dzielenia przez x+4 wynosi 22

Basia: 1. dzielisz przez (x-1)(x-3) czyli wielomian stopnia 2 reszta musi być przynajmniej o stopień niższa, bo gdyby jeszcze było x² (albo więcej) mógłbyś dzielić nadal W(x) przy dzieleniu przez x-1 daje resztę 2 czyli W(x)= (x-1)*p(x) + 2 W(x)= (x-1)(x-3)*q(x) + R(x) czyli z 1: W(1) = 0*p(x)+ 2=2 z 2: W(1)=0(x-3)q(x)+R(1)=R(1) W(1) = R(1) = 2 --------------------------------- W(x) przy dzieleniu przez x-3 daje resztę 5 W(x)=(x-3)*f(x) +5 W(x)= (x-1)(x-3)*q(x) + R(x) czyli z 1: W(3) = 0f(x) +5 = 5 z 2: W(3)=(x-1)*0*q(x) +R(3)= R(3) W(3)=R(3)=5 W(3) = R(3) =5

Basia: 2. Liczba -3 jest miejscem zerowym W(x). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez P(x)=x2-x-12 jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia W(x) przez (x-4) otrzymujemy resztę 14 P(x)=(x-4)(x+3) W(x) = P(x)*Q(x) + R(x) W(x) = (x-4)*(x+3)*Q(x) + R(x) W(x) = (x-4)*f(x) +14 W(-3)=0 W(-3)= (x-4)*0*Q(x) +R(-3) = R(-3) czyli R(-3)=0 -------------------- W(4) = 0*(x+3)*Q(x) +R(4) = R(4) W(4) = 0*f(x) +14 = 14 czyli R(4)=14 ------------------------ R(x) = ax+b -3a + b =0 4a +b =14 bo R(x) jest resztą z dzielenia przez wiel. st. 2 czyli może być stopnia co najwyżej 1 no i masz układ dwóch równań z dwiemam niewiadomymi to już potrafisz rozwiązać, nie pytam, wiem

Basia: 3. od tego momentu: dzielimy -5x+2 przez x+4 = -5 reszta 22 -5x+2 = -5(x+4) +22 W(x) = (x+4)(x-1)*Q(x) -5(x+4) + 22 W(x) = (x+4) [ (x-1)Q(x) -5 ] +22 czyli reszta z dzielenia przez x+4 wynosi 22 ------------------------------------------------------------------------ można inaczej W(x) =(x+4)(x-1)*Q(x) -5x +2 W(x) = (x-4)(x-1)*Q(x) -5x-20+20+2 odejmuję i dodaję 20 W(x) = (x-4)(x-1)*Q(x) -5(x+4) +22 W(x) = (x+4) [ (x-1)*Q(x) -5 ] +22 Q₁(x) = (x-1)*Q(x) -5 W(x) = (x+4)*Q₁(x) +22 czyli reszta wynosi 22

nalepek: ok, 1 i 2 załapałem już co do 3, jeszcze jutro matematyczkę spytam o co kaman dzięki bardzo a co do tego z tymi wielkimi potęgami, też się już w szkole dowiem

ania: Jaka jest reszta z dzielenia liczby 2²⁰⁰¹:3 oraz reszta z dzielenia 2²⁰⁰¹:6²