Udowodnij wzór-granica ciągu Agnieszka:

	7n
udowodnij granicę lim przy n→∞		=7
	n+1

Grześ:

	7n		n		7
lim przy n→∞		=		*
	n+1		n		1   1+   n

Teraz już potrafisz udowodnić

Agnieszka: niestety nie

g: pod n podstawia sie 0?

Grześ:

	1
Masz tam ułamek		taki ułamek przy n→∞ redukuje się do zera
	n

Agnieszka: ja w ogóle nie rozumie tych granic

g: pierwsze n nad n skraca Ci sie a pozniej zostaje 7 przez 1=0 czyli wychodzi 7

Grześ:

	n
Ten ułamek		skraca się i on nie jest brany pod uwagę
	n

Agnieszka: aha ok

Grześ: Masz agnieszka gg Wytłumacze ci ogólne pojęcie granic

g: ale własnie czym to sie rozni moze wyjsc cos innego do podstawienia?

Grześ: Albo zaczerpnij wiedze z tutejszego forum

Agnieszka: Dzięki bardo

g: a mozesz tutaj bo tez chcialabym zrozumiec

Agnieszka: bardzo*

Grześ: W tym przypadku, przy takim ułamku wyłącza się zawsze jak największą potęgę przed ułamek

g: cos napisac o tych granicach bo czytam to co jest na forum i nic nie kumam

g: to ze przed ulamek ok rozumiem ale co jest z tym zerem

Agnieszka: mam mam

Grześ: Przy takiej granicy jak masz tutaj, czyli z ułamkiem, z licznika i mianownika wyłączasz zawsze największą możliwą potęgę, a potem liczysz granice. Wszystkie ułamki, które w mianowniku maja n skracają się do zera, a z tej częsci co zostało liczymy granicę. W miarę łopatologicznie to wyjaśniłem

Agnieszka: ja na zadanie domowe mam aż 13 przykładów do zrobienia z tych granic ciągów ojojo

g: albo jak mialbys przyklad taki 2n−7=∞

Agnieszka: no ja juz teraz to rozumiem wypisałam sobie te podstawowe twierdzenia itp.

g: to ze wyciagasz najwieksza potege i co dalej sie robi kumam ale zawsze jest n−>∞?

Grześ: To to jest ciąg nieskończony, sam spójrz....

Grześ: Różnie jest, ale przy granicy ciągu jest ∞, ale są też granice funkcji itp....

g: milo mi gosia jestem

g: pogubie sie w tym wszystkim dopiero to zaczynam a juz sie gubie

g: a_n = √n+2 −√n oblicz granice

Agnieszka: a jak zabrać sie za to ? ⁿ√2n³ −1 /√2n³ −1

Grześ: W tym przykładzie musisz skorzystać z tego: a²−b²=(a+b)(a−b)

	a2−b2
a−b=
	a+b

Grześ: to jest dla g

Agnieszka: te granice ciągów to moja pieta achillesowa ehh...

Grześ: Masz to g

Agnieszka:

	2n +5
albo		i to razem do potęgi n (ma wyjść +∞)
	n + 2

gosia: czyli tak

	(√n+2)2 − (√n)2
an =		=
	√n+2+√n

gosia: tak zaczac?

Grześ: gosia masz dobrze, teraz wyłącz największe potęgi

gosia:

	n+2−n		2
=		=
	√n+2+√n		√n+2+√n

gosia: czyli nie tak juz wczesniej musze wylaczyc?

gosia: √n ?

Grześ: Dobrze zrobiłaś, teraz hmm, coś z mianownikiem pokombinować trzeba. Spróbuj √n powyłączać

gosia: bede za jakies gora 40 min wroce i bede dalej rozkminiac i uczyc sie granic ciagow

Grześ: Agnieszka, daj jakiś przykład, z Tobą coś zrobię i spadać będę

gosia: ale co dalej nic mi sie nie skroci

gosia: gdybym mogla to bym zostala i dalej tlumaczyla ale zaraz wracam do domu i wtedy wejde na neta i tutaj

Agnieszka: już pisałam wcześniej

Agnieszka: napisałam 2 przykłady które mam na zadanie domowe

Agnieszka: jesteś Grzesiu

Jack: dawaj je, coś poradzimy. Przepisz je jeszcze raz dla czytelności.

Grześ:

	n√2n3−1
a n→∞
	√2n3−1

Chyba tak on wyglądał... Hmm, nie mam pomysłu, nie wiem dokładnie jak się zachowuje pierwiastek stopnia n−tego, może ktoś będzie wiedzieć

Jack: ⁿ√n³≤ⁿ√2n³−1≤ⁿ√2n³ lim_n→∞ ⁿ√n*ⁿ√n*ⁿ√n=1*1*1=1 lim_n→∞ ⁿ√2n³=ⁿ√2*ⁿ√n*ⁿ√n*ⁿ√n=1*1*1*1=1 Zatem środek też biega do 1.

Jack: To wczesniejsze to rozpisanie samego licznika, ale to nic nie daje, bo mianownik jest rozbieżny więc nie można zastosować wzoru na iloraz granic. Może wiec tak. (2n³−1)^1_n−1₂=(1+2n³−2)^2−n_2n= =(1+2n³−2)^{1_2n3−2*(2n3−2)*(2−n_2n)}= =e^{(2n3−2)*(2−n_2n)}=e^{(2−n)(4n4−4n)_2n}→∞

Jack: ups... ostatnie przejście: e^{−4n5+4n2+8n4−8n_2n}→ 0 (bo e^−∞→0)

Agnieszka: dzięki bardzo *