Funkcje Pablo: Wykazać ze nie istnieje wielomian W(x) o wszystkich współczynnikach całkowitych, dla którego zachodzi W(13)=3 i W(17)=5

Bogdan: W(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + a_n−2xⁿ⁻² + ... + a₂x² + a₁x + a₀ a_n, a_n−1, a_n−2, ... , a₂, a₁, a₀ ∊ ℂ i a_n ≠ 0 W(17) = a_n17ⁿ + a_n−117ⁿ⁻¹ + a_n−217ⁿ⁻² + ... + a₂17² + a₁17 + a₀ = 5 W(13) = a_n13ⁿ + a_n−113ⁿ⁻¹ + a_n−213ⁿ⁻² + ... + a₂13² + a₁13 + a₀ = 3 W(17) − W(13) = = a_n(17ⁿ−13ⁿ) + a_n−1(17ⁿ⁻¹−13ⁿ⁻¹) + a_n−2(17ⁿ⁻²−13ⁿ⁻²) + ... ... + a₂(17²−13²) + a₁(17−13) = 2 17ⁿ−13ⁿ = (17−13)(17ⁿ⁻¹ + 17ⁿ⁻²*13 + 17ⁿ⁻³*13² + ... + 13ⁿ⁻¹) = 4A_n−1 Podobnie rozkładamy kolejne czynniki: 17ⁿ⁻¹−13ⁿ⁻¹ = (17−13)(17ⁿ⁻² + 17ⁿ⁻³*13 + 17ⁿ⁻⁴*13² + ... + 13ⁿ⁻²) = 4A_n−2 .... a₁(17−13) = 4A₁ W(17) − W(13) = 4A_n−1 + 4A_n−2 + ... + 4A₁ ⇒ ⇒ 4A_n−1 + 4A_n−2 + ... + 4A₁ = 2 / : 4

	2
An−1 + An−2 + ... + A1 =		∉ ℂ
	4

Po lewej stronie tej równości jest suma liczb całkowitych, po prawej stronie

	2
jest		∉ ℂ, lewa strona ≠ prawa strona, więc nie istnieje wielomian W(x) o wszystkich
	4

współczynnikach całkowitych, dla którego zachodzi W(13) = 3 i W(17) = 5, co należało wykazać.