kaczor: Sprawdz, że przekształcenie P płaszczyzny dane wzorem P((x,y))=(x+1,-y) jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu x2+y2-2x=0 w przekształceniu P. Proszę o wytłumacznie też tego THX

Max: Przekształcenie P jest izometrią, gdyż jest złożeniem dwóch izometrii: translacji o wektor [-1,0] oraz symetrii osiowej względem osi odciętych (OX). Aby otrzymać równanie obrazu okręgu o równaniu x²+y²-2x=0 w przekształceniu P wystarczy w tym równaniu w miejsce x wstaić x+1, a w miejsce y wstawić -y. otrzymasz okrąg x²+y²=0

Max: przepraszam mała pomyłka x²+y²=1

kaczor: a może ktoś dokładniej to wytłukmaczyć?

Basia: izometrią nazywamy każde przekształcenie płaszczyzny zachowujące odległość tzn: A'B' = AB A(x₁,y₁) ⇒ A'(x₁+1, -y₁) B(x₂,y₂) ⇒ B'(x₂+1, -y₂) liczymy A'B' A'B' = √(x₂+1-x₁-1)² + (-y₂+y₁)² = √(x₂-x₁)² + [-(y₂-y₁)]²= √(x₂-x₁)² +(y₂-y₁)²=AB czyli to jest izometria (sposób Maxa też jest dobry, ale wektor translacji to [1,0]) x'=x+1 y'=-y x=x'-1 y=-y' (x'-1)²+(-y')² - 2(x'-1) = 0 "prim" można pominąć x²-2x+1+y²-2x+2 = 0 x²+y²-4x+3 =0 sprawdźmy: x²-2x+y²=0 (x-1)²-1+y² = 0 (x-1)² +y² = 1 okrąg o środku S(1,0) i promieniu 1 S'(2,0) i promień 1 (bo izometria) (x-2)²+y² = 1 x²-4x+4+y²-1=0 x²+y²-4x+3 = 0 czyli wszystko się zgadza