zbadaj monotoniczność ciągu Helenka: Badanie monotoniczności ciągu x_n=√n²+n−n czyli a_n+1−a_n Mam podnieść do kwadratu aby pozbyć sie pierwiastka?

Bogdan: Wyznacz x_n+1, potem różnicę x_n+1 − x_n. Jeśli ta różnica jest dodatnia, to ciąg jest rosnący, jeśli różnica jest ujemna, to ciąg jest malejący.

Helenka: ok, rozumiem to, tylko ze wychodza mi czynniki pod pierwiastkami, nie wiem jak sie ich ozbyc/poskracac..

Helenka: nikt mi nie pomoze?

Grześ: masz x_n+1=√(n+1)²+n+1−n−1 x_n+1−x_n=√(n+1)²+n+1−n−1−√n²+n+n=√n²+3n+2−√n²+n−1=√(n+2)(n+1)−√n(n+1)−1

Grześ: Dalej poradzisz sobie

Grześ: Wyłącz √n+1 przed nawias z tych dwóch wyrażeń

Grześ: Bo nie wiem czy napisac Ci dalszy ciąg

Helenka: no i mam √n+1(√n+2−√n)−1 i dalej znowu nie wiem jak mam określić monotoniczność...

Helenka: wiec prosilabym jenak dalej

Grześ: no jak to nie potrafisz masz w nawiasie: √n+2−√n czy nie wychodzi wartość ujemna

Helenka: nie rozumiem, powiedzmy ze za n wstawiam 2, wychodzi √4−√2 = 2−√2 a to jest dodatnie chyba

Grześ: Znaczy się dodatnia, sorry, źle spojrzałem. Wartość w nawiasie będzie dodatnia. Srry, ale spać już mi sie chce

Helenka: no wlasnie, przed nawiasem tez dodatnia, i odejmujemy 1, wiec jaka odp wkoncu powinna byc, no i najwazniejsze − dlaczego?

Grześ: Co dlaczego No wyszło że jest ciąg rosnący tak Co tu dalej gdybać

Grześ: Jak tak bardzo nie wierzysz, to w ramach upewnienia, może można zbadać np. różnicę x_n+2−x_n+1 ? Jak tak bardzo chcesz

Bogdan: Wystarczy zbadać znak różnicy x_n+1 − x_n

Grześ: Wiem, ale Helenka nie wierzy

Helenka: Nie rozumiem dlaczego jest pewne że √n+1(√n+2−√n)−1 jest dodatnie?

Helenka: tylko tyle wytlumaczcie mi

Grześ: po prostu patrzysz tylko na nawias,a tam masz pierwiastek z większej liczby odjąć pierwiastek z mniejszej liczby... Jasne, że wyjdzie dodatnie

Helenka: no tak a dlaczego mam patrzeć tylko na nawias?

Grześ: Bo reszta się już nie liczy, po prostu nie wpływa na rozwiązanie

Helenka: wiem o co CI chodzi, ale gdyby przy nastepnym zadaniu cos takiego mi wyszlo nadal bym nie wiedziala co wplywa na rozwiazanie a co nie

Grześ: Po prostu wyłączony przed nawias √n+1 jest dodatni, bo to jest numer kolejnego wyrazu dodać 1 A przecież nie może być ujemny numer. Co o tym teraz sądzisz

Grześ: np. być chciała żeby było x ₋₂ Tak nie ma przecież

Helenka: no już jaśniej, ale jeszcze na końcu jest −1, skad pewnosc ze po odjeciu tej jedynki wyrazenie nie stanie sie ujemne?

Grześ: Hmm, ale ciężkie pytania zadajesz. Chyba że mam jeszcze jeden ostatni pomysł, ale nie wiem czy dobry. Mając: √(n+2)(n+1)−p{n(n+1)−1 Można rozpisać 1 jako: √n*n Może to do czegoś doprowadzi. Może ktoś się by jeszcze wypowiedział, bo już sam nie wiem

Helenka: hehe, pomysle nad tym zadaniem jeszcze pozniej, dwa pytania na "koniec": 1. ciag jest rosnący zatem? 2. masz czas na kolejne przykłady?

Grześ: 1.Tak mi zamotałaś, że jutro na spokojnie bym go musiał obejrzeć i rozważyć. 2. Chcesz to daj jakiś, spróbuje coś wykombinować i sie zrehabilitować

Helenka: 1. (n+1)!−(n−1)! / (n+1)! +n! 2. √9x2ⁿ+3x3²ⁿ+14x5ⁿ 3. (n²+n)/n²−2n i cały ten ulamek do potegi n²+3 nie chodzi mi koniecznie o wyniki a o podpowiedzi jak to ugryźć, w pierwszym wylaczyc w liczniku i mianowniku (n−1)! ?

Grześ: Ale 1. to ułamek cały jest

Grześ: Doba, nie mam siły dziś na takie przykłady, może jutro będę to pomogę

Helenka: hehe, ok