wykaż okresowość funkcji matfak: Udowodnij ,że jeżeli funkcja f : R →R spełnia dla każdej liczby rzeczywistej x nierówność f(x+3)≤f(x)+3 i f(x+2)≥f(x)+2 , to funkcja g(x)=f(x) − x jest okresowa

Vax: Zapiszmy te warunki tak: (1) f(x+3) ≤ f(x) + 3 (2) f(x+2) ≥ f(x) + 2 Zauważmy teraz, że korzystając z (1) nierówności dostajemy: f(x+6) = f(x+3+3) ≤ f(x+3)+3 ≤ f(x)+6 Ale teraz korzystając z 2 nierówności dostajemy: f(x+6) = f(x+4+2) ≥ f(x+4)+2 = f(x+2+2)+2 ≥ f(x+2)+4 ≥ f(x) + 6 Czyli: f(x)+6 ≤ f(x+6) ≤ f(x)+6 Skąd: f(x)+6 = f(x+6) ⇔ f(x) = f(x+6)−6 /−x ⇔ f(x)−x = f(x+6)−(x+6) ⇔ g(x) = g(x+6) Więc g(x) jest funkcją okresową o okresie równym 6, cnd.

ksenia: Wykaż ,że jeżeli funkcja f : R →R spełnia dla każdej liczby rzeczywistej x warunek f(x−a) +f(x) +f(x+a)=0, gdzie a≠0 to jest okresowa