sprawdz czy A jest grupa kasia: Niech A bedzie zbiorem wszystkich przedziałów domknietych <a,b> na prostej, gdzie a≤b. Sprawdzić czy A jest grupa wzgledem dzialania <kółko> okreslonego w A wzorem <a,b>kółko <c,d>= <a+c, b+d>

Jack: Znasz aksjomaty grupy? Możesz je tu wymienić i sprawdzać. Będę zerkał

kasia: w ogóle nie wiem o co chodzi mam sprawdzic czy jest wewnetrzne przemienne itp

Jack: nie nie, przemienność nie wchodzi w skład grupy. Musisz sprawdzić łączność, istnienie elementu odwrotnego i neutralnego względem "dodawania" (tak nazwijmy "kółko").

kasia: no to moze podaj zarys a ja sprobuje dokonczyc....

Jack: zacznij od łączności. Formalnie wygląda to tak: (a+b)+c=a+(b+c). Rozpatrz pare przypadków i zauważ, czy równośc zachodzi. Skorzystaj ze wzoru z zadania. Spróbuj...

Jack: Niech <a,b>, <c,d> i <e,f> będą przedziałami domkniętymi. Łączność wygląda tak: (<a,b> + <c,d>)+ <e,d> = <a,b> + (<c,d> + <e,f>) Trzeba to sprawdzić.

Jack: oczywiście mój znak " + " to Twoje "kółko"... Moze lepiej gdybyśmy je oznaczyli przez np. " x ". No ale to szczegół...

kasia: a skad to e oraz f?

Jack: łączność sprawdzamy biorąc trzy elementy − nie muszą być różne, ale tak będzie ogólniej. Dodawaj parami zgodnie ze wzorem z treści zadania i kolejnością zadaną przez nawiasy.

kasia: więc tak: <a,b>+<c,d>+<e,d>=<a,b>+(<c,d>+<e,f>)= L= <a+c+ac+e+ae+ce+ace+ce+ace, b+ac+1+d+1>= a+c+ac+e+ae+ce+ace+ce+ace+b+d+d+2 (to jest pewnie źle )

Jack: o rety... nie mam pojęcia skąd Ci wyszły iloczyny...

kasia: :(

Jack: (<a,b> x <c,d>) x <e,f> = <a,b> x (<c,d> x <e,f>) L= (<a,b> x <c,d>) x <e,f> = <a+c,b+d> x <e,f>=<a+c+e,b+d+f> P=<a,b> x (<c,d> x <e,f>)= <a,b> x <c+e, d+f>= <a+c+e,b+d+f> L=P, a więc pierwszy aksjomat spełniony. Posłużyłem się przemiennością " + " ale to mogłem zrobić.

kasia: DZIEKI! a co dalej robić element neutralny

Jack: no neutralny. czyli taki przedział domknięty <α,β>, że dla dowolnego przedziału domk. <a,b> mamy <a,b> x <α,β>= <a,b> . Istnieje taki przedział? Zauważ, że z zadania a≥b − to ważne.

kasia: tu ma być a≤b

Jack: ok, mniejsza o to ważne że jest "a≤b" a nie "a<b".

kasia: hmm to CHYBA nie istnieje taki przedział

Jack: hmmm to podpowiem ,że to będzie punkt czyli przedział dokmnięty <a,a>. Jakie a obstawiasz? I od razu sprawdź czy spełnią warunek bycia elementem neutralnym.

kasia: myśle ze <1,1> tak

Jack: sprawdź: <a,b> x <1,1>= <a+1,b+1> czy zatem <a,b>=<a+1,b+1> a więc a=a+1 oraz b=b+1 ?

olga: w ogole nie wiem o co chodzi...

kasia: ja też

Jack: eh... chodzi o taki element, że jak do dowolnego go dodam, to nic się nie zmieni. Czyli taki przedział domknięty <α,β>, że dla dowolnego przedziału domk. <a,b> mamy: <a,b> x <α,β>= <a,b> Przykład Mamy zwykły zbiór R i dodawanie w nim. To takim elementem neutralnym jest 0, bo 0+a=a , gdzie a − dowolna liczba R. dla mnożenie w R, z kolei, taką liczbą jest 1 bo 1*a=a, czyli nic się nie zmienia.

kasia: czyli dobrze dałam 1

Jack: Nie ma u nas takiego stwora jak 1... Podaj przykład elementu grupy, czyli przedziału domkniętego

Jack: pewnie masz na myśli <1,1>. To ja teraz pytam, czy <a,b>=<a+1,b+1> dla dowolnego a, b∊R Jak nie widzisz od razu, to podstaw coś.

Jack: Inaczej, jaki element dodany do <a,b> zwróci nam ten sam <a,b>, skoro działanie "x" (zdefdiniowane w poleceniu) polega na dodawaniu po końcach odcinka?

kasia: np <−2, 2>

Jack: sprawdź... <a,b> x <−2,2>=<a−2,b+2> czy zatem <a,b>=<a−2,b+2>

kasia: troche nie nadązam...

Jack: jesteś na studiach czy w szkole średniej?

Jack: Przejdźmy na zwykłe liczby R i działania " + " oraz " * ". element neutralny względem dodawania " + " to takie e∊R, że dla każdego a∊R mamy: a + e = a Interpretacja jest prosta. To taka liczba, która nigdy niczego nie zmienia. Policzmy ją: a+e= a ⇔ e=0. Faktycznie, elem. neutralnym wzgl. dod. jest 0. Podobnie jest z mnożeniem, ten przykład też podałem wyżej. W swoim przykładzie masz odcinki domknięte o pewnej długości. Masz podany przepis jak się dodaje te odcinki. Teraz musisz wskazać taki "odcinek" który dodany do dowolnego odcinka nie zmieni go.

kasia: jestem w szkole średniej. no to taki element co dodamy do dowolnego to 0

Jack: trafiłaś... ale niech będzie bo jesteś dopiero w szkole sredniej. sprawdźmy: <a,b> x <0,0>=<a+0,b+0>. Czy zatem <a,b> =<a+0,b+0>? I drugie pytanie czy <0,0> jest przedziałem domkniętym oraz czy "a" może być tu równe "b" (spójrz na treść zadania)?

kasia: <0,0> jest domknietym nie, "a" musi być < od b...

Jack: po pierwsze, punkt na osi jest zbiorem domkniętym (poszukaj w necie jak mi nie wierzysz, bo Ci tego nie udowodnię),a po drugie, w zadaniu jest a≤b, co oznacza że jest dopuszczalne aby a=b. Po trzecie <0,0> faktycznie jest elementem neutralnym. Jeszce tylko element odwrotny...

kasia: nie ma elementu odwrotnego

synek:

Jack: elemn odwrotny wzgl dodawania w zbiorze R do danego elementu a∊R, to takie coś ∊R, że a + (coś) = 0 (czyli jest równe elementowi neutralnemu) Przechodząc na odcinki z zadania... Zastanawiamy się, czy dla każdego odcinka <a,b> znajdziemy jakiś (niekoniecznie za każdym razem ten sam!) odcinek <α, β> taki, że <a,b> x <α, β> = <0,0>

Jack: weźmy np. odcienk <−5,6>. Czy istnieje takie <α, β>, że <−5,6> x <α, β>= <0,0> ?

olga: niee

kasia: a ja myśle ze istnieje

Jack: proszę o przykład (albo uzasadnienie że brak takiego elementu dla <−5,6>)... Pamiętaj, że α≤β.

olga: np <−3,4>

Jack: Sprawdzamy czy istnieje takie <α, β>, że <−5,6> x <α, β>= <0,0> Jesli chcesz dowieść że istnieje to je podajesz. Jesli chcesz dowieść ze nie istnieje, to... jaki sens ma podawanie? Powinnaś powołać się na jakąś np. własność operacji " x " i pokazać, że coś nie gra.