Indukcja matematyczna. Olii: Mam taki problem.. Za pomocą indukcji matematycznej uzasadnić, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi tożsamość : 1+3+...+3ⁿ⁻¹ = 1/2(3 ⁿ −1). Robię to zadanie analogicznie do tego : https://matematykaszkolna.pl/strona/1358.html i mi nie wychodzi.. Co robię źle? Jak powinno to wyglądać? Wychodzą mi dziwne wyniki.

Jack: tylko jak napiszesz jak robisz, powiemy Ci co robisz źle...

Godzio: Dla n = 1

	1
1 =		(3 − 1) = 1
	2

Zakładam że n = k :

	1
1 + 3 + ... + 3k − 1 =		(3k − 1)
	2

Jeśli wzór jest prawdziwy dla każdej liczby n = k to jest prawdziwe dla n = k + 1

	1
1 + 3 + ... + 3k − 1 + 3k =		(3k + 1 − 1)
	2

Dowód:

	1		3k − 1 + 2 * 3k
L = 1 + 3 + ... + 3k − 1 + 3k =		(3k − 1) + 3k =		=
	2		2

	3 * 3k − 1		1
=		=		(3k + 1 − 1) = P
	2		2

Jack: kluczowe przejście:

	3k −1		3k+2*3k−1		3*3k−1		3k+1−1
1+3+...+3k−1+3k=		+3k=		=		=		.
	2		2		2		2

Olii: Sprawdzam równanie dla n=1 L= 3 ¹−1 = 3 ⁰= 1 P=1/2(3 ¹ −1 =1 L=P 2. Zakładam, ze równanie jest prawdziwe dla pewnej liczby k>=1 1+3+...+ 3 ^k−1= 1/2 (3^k −1) 3. Udowadniam prawdziwość równania dla k+1 korzystając z założenia 1+3+...+ 3 ^k−1 + 3^k+1−1= 1/2 (3 ^k+1 −1) dowód: L= 1+3+...+3^k−1 + 3^k+1−1= korzystam z założenia 2. = 1/2 (3^k −1) + 3^k+1−1 =... No i tutaj mi różnie wychodzi ale za każdym razem nie tak jak powinno.. sprowadzam do wspólnego mianownika czyli 2..ale to mi nie wychodzi..

Jack: widzisz, niepotrzebnie się męczyłaś...masz gotowe rozwiązanie.

Olii: Dziękuje bardzo za pomoc

Olii: A czy tak samo robi się dla uzasadnienia nierówności? np. 2ⁿ > n² dla n>=5 ?

Jack: podobnie

Olii: A mógłby ktoś mi pokazać schemat jak to trzeba zrobić? Bo jednak troche inaczej niż poprzednie i nie mogę ruszyć z miejsca Z góry dziękuje za pomoc

Jack: 1. spradzamy dla n=5 2. zakładamy, że dla dowolnej liczb k≥5: 2^k>k² 3. Mamy wykazać, że dla dowolnej liczby k+1≥5 zachodzi: 2^k+1>(k+1)² Dowód: 2^k+1=2*2^k>2*k² >(k+1)² Trzeba pokazać jeszcze, że 2k²>(k+1)² dla każdej liczby k≥5. To jest zwykła nierówność, ma ona zachodzić dla k≥5.

Olii: Metodą indukcji matematycznej uzasadnić nierówność: 1/ 1² + 1/2² +..+ 1/n² ≤ 2− 1/n dla n∊ N pokazuje,że: 1/ 1² + 1/2² +...+ 1/n² + 1/ (n+1)² ≤ 2−1/n+1 no i z założenia indukcyjnego wiemy, że 1/ 1² + 1/2² +...+ 1/n² + 1/(n+1)² ≤ 2− 1/n + 1/(n+1)² i teraz czy wystarczy, że w ostatnim "etapie" napisze : 2− 1/n + 1/(n+1)² ≤ 2− 1/ n+1 i dalej jak powinno wygladać?