Wykaz ze lukaszq15: Wykaż , ze ³√5 jest liczba nie wymierna.

lukaszq15:

AS:

	y
Niech 3√5 =		wtedy mamy y3 = 5*x3 [1]
	x

Rozpatruję 4 przypadki 1. x i y parzyste − odrzucamy, gdyż będzie to ułamek skracalny przez 2 i zajdzie jeden z trzech następnych przypadków. 2, x − nieparzyste , y − parzyste Przy tym założeniu x = 2*m + 1 , y = 2*n gdzie m,n ∊ N Wtedy lewa strona równości [1] dla x = 2*m + 1 będzie nieparzysta , bo każda liczba nieparzysta w potędze 3 jest nieparzysta Prawa strona dla y = 2*n będzie parzysta,bo każda liczba parzysta w potędze 3 bedzie parzysta,a pomnożona przez 5 da również liczbę parzystą. Równość nie może zajść − ten przypadek odpada 3, x − parzyste , y − nieparzyste Przy tym założeniu x = 2*m , y = 2*n + 1 gdzie m,n ∊ N Wtedy lewa strona równości [1] dla x = 2*m będzie parzysta , bo każda liczba parzysta w potędze 3 jest parzysta Prawa strona dla y = 2*n + 1 będzie nieparzysta,bo każda liczba nieparzysta w potędze 3 bedzie nieparzysta,a pomnożona przez 5 da również liczbę nieparzystą. Równość nie może zajść − ten przypadek odpada 4, x − nieparzyste , y − nieparzyste Przy tym założeniu x = 2*m + 1 , y = 2*n + 1 gdzie m,n ∊ N Wstawiając x i y do równości [1] mamy (2*m + 1)³ = 5*(2*n + 1)³ 8*m³ + 3*4*m²*1 + 3*2*m*1² + 1³ = 5*(8*n³ + 3*4*n²*1 + 3*2*n*1² + 1³) 8*m³ + 12*m² + 6*m + 1 = 40*n³ + 60*n² + 30*n + 5 8*m³ − 40*n³ + 12*m² − 60*n² + 6*m − 30*n = 4 |:2 4*m³ − 20*n³ + 6*m² − 30*n² + 3*m − 15*n = 2 4*m³ − 20*n³ + 6*m² − 30*n² − 2 =15*n − 3*m − 15*n Lewa strona jest wielokrotnością 2 a więc jest parzysta,prawa strona jest wielokrotnością 3 a więc jest nieparzysta. Równość nie może zajść − ten przypadek odpada Wniosek ostateczny: Nie istnieje ułamek którego wartością jest ³√5

AS: Korekta Ostatni wiersz ma postać 4*m³ − 20*n³ + 6*m² − 30*n² − 2 =15*n − 3*m