zbiory poziom rozszerzony zbiory: zbiory − zadanie z gwiazdką poziom rozszerzony: wykaż że prawdziwa jest równość: A\ [ B\ (C\D)]=(A\B) ∪ [ (A∩C) \ D]

Vax: Zdefiniujmy funkcję charakterystyczną: λ_A (x) = { 1 dla x ∊ A { 0 dla x ∉ A Oznaczmy λ_A(x) = a , λ_B(x) = b , λ_C(x) = c , λ_D(x) = d. Łatwo sprawdzić, że prawdziwe są równości: λ_A∪B = a+b−ab , λ_A∩B = ab , λ_A\B = a(1−b), oraz zachodzi równość a² = a. Wyznaczmy więc funkcję charakterystyczną lewej strony: λ_{A\[B \ (C\D)]} = λ_A(1 − λ_B\(C\D)) = a(1 − λ_B(1−λ_C\D)) = a(1−b(1−λ_C(1−λ_D))) = a(1−b(1−c(1−d))) = a(1−b(1−c+cd)) = a(1−b+bc−bcd) = a−ab+abc−abcd Wyznaczmy teraz funkcję charakterystyczną prawej strony: λ_{(A\B) ∪ [ (A∩C) \ D]} = λ_A\B+λ_{(A∩C) \ D} − λ_A\B*λ_{(A∩C) \ D} = a(1−b) + λ_A∩C(1−λ_D) − a(1−b)*λ_A∩C(1−λ_D) = a−ab+ac(1−d)−a(1−b)ac(1−d) = a−ab+ac−acd−ac(1−b−d+bd) = a−ab+ac−acd−ac+abc+acd−abcd = a−ab+abc−abcd Czyli istotnie dana równość zachodzi, qed

Eta: Sposobem szkolnym Z def. działań na zbiorach L : x€ {A\[B\(C\D)]} ⇔ x€A ⋀ x∉[B\(C\D)] ⇔x€A ⋀ x∉B ⋀x€ (C\D)⇔x€A⋀x∉B⋀x€C⋀x∉D P : x€ {(A\B) U [(A∩C)\D]} ⇔x€ (A\B) v x€(A∩C)⋀x∉D⇔( x€ A ⋀x∉B) v(x€A⋀x€C⋀x∉D)⇔ ⇔ x€A ⋀x∉B ⋀x€C ⋀x∉D L=P ( równość zachodzi

GROM: A Ty Vax wiesz, co to jest poziom rozszerzony?

Saizou : GROM, a Vax skończył chyba w tym, roku gimnazjum

Eta: