zyga: Witam potrzebuje pomocy z ta funkcja: f(x)=x-ln(x+1) - wyznaczenie dziedziny funkcji, - obliczenie granic na krańcach dziedziny, - wyznaczenie asymptot, - wyznaczenie punktów przecięcia z osią OX - wyznaczenie punktów przecięcia z osią OY

Basia: dziedzinę już masz, a reszta ?

zyga: tak dziedzine mam zastanawialem sie nad reszta, ale juz pozapominalem wszystko

zyga: x dazy do -1 i x dazy do +∞

Basia: x → -1⁺ (bo z lewej nie może) to f(x) → -1 - (-∞) = +∞ gorzej będzie z drugą; symbol nieoznaczony +∞ -∞ ale dość łatwo policzyć lim (x→+∞) z e^x-ln(x+1)=e^x / e^ln(x+1) = e^x / (x+1) = L(x) / M(x) i z tw. de l'Hospitala lim L(x) / M(x) =lim L'(x)/M'(x) L'(x)/M'(x) = e^x / 1 = e^x → +∞ czyli f(x) też bo f(x)= ln[L(x)/M(x)] asymptota pionowa x=-1 poziomych nie ma bo granica przy x→+∞ = +∞ badamy f(x) /x = 1 - [ ln(x+1) ] / x i jego granicę przy x → +∞ zajmujemy się wyrażeniem [ ln(x+1) ] / x tw. de l'Hospitala [ 1/(x+1) ] / 1 = 1/(x+1) → 0 przy x→ +∞∞ czyli f(x)/x → 1-0=1 czyli mamy kierunek asymptotyczny badamy f(x)-x = -ln(x+1) → -∞ czyli asymptota ukośna nie istnieje

Basia: punkt przecięcia z OX to miejsce zerowe x - ln(x+1) =0 jak to formalnie rozwiązać nie wiem ale zgadnąć łatwo x₀=0 f(0)=0-ln1=0-0=0 ponieważ f'(x) = 1- 1/(x+1) = (x+1-1) / (x+1) = x / (x+1) x∈(-1,0) ⇒ f'(x) <0 to funkcja maleje x∈(0,+∞) ⇒ f'(x)>0 ⇒ funkcja rosnie i z tego wynika, że innych miejsc zerowych nie będzie punkt przecięcia z OY to wartość w p-cie 0 czyli to samo

zyga: dziękuje ślicznie

zyga: Prosiłbym jeszcze: wyliczenie miejsc zerowych pierwszej pochodnej wyznaczenie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca wyznaczenie przedziałów, w których funkcja jest malejąca

Basia: f(x)=x-ln(x+1) f'(x)=1 - 1/(x+1) = (x+1-1)/(x+1)=x/(x+1) f'(x)=0 ⇔ x=0 czyli x₀=0 miejsce zerowe pochodnej f rośnie ⇔ f' > 0 ⇔ (x>0 i x+1>0) lub (x<0 i x+1<0) ⇔ x>0 lub x<-1 ⇔ x∈(-∞;-1)u(0;+∞) f maleje ⇔ f'<0 ⇔ (x>0 i x+1<0) lub (x<0 i x+1>0)⇔ (x>0 i x<-1) lub (x<0 i x>-1) ⇔ (niemożliwe) lub x∈(-1,0) ⇔ x∈(-1,0) można też inaczej: narysować wykresy y=x i y=x+1 i odczytać te przedziały z wykresu

zyga: Dziękuję Basia, prosiłbym jeszcze to samo z drugą pochodną.

zyga: Basia mogłabyś policzyć tak samo 2 pochodną ?

Dawid: y=2x+3