Indukcja matematyczna. HELP!! Rastax: Metodą indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n liczba 4ⁿ + 15n − 1 jest podzielna przez 9

mi: krok 1: n=1 4¹+15*1−1=4+15−1=18=9*2 krok 2: zakładam, że zachodzi dla n 4ⁿ+15n−1=9*k, gdzie k jest liczbą całkowitą teza: teraz udowadniam, że zachodzi dla n+1 4ⁿ⁺¹+15(n+1)−1=(9k−15n+1)*4+15n+15−1=36k−60n+4+15n+14=36k−45n+18=9*(4k−5n+2)=9t, gdzie t jest pewną liczbą całkowitą na mocy indukcji matematycznej teza jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych

Bogdan: W treści zadania jest polecenie: "... wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n liczba ..." , nie można więc użyć sformułowania; "... zakładam, że zachodzi dla n ... ", bo to,że zachodzi dla n trzeba właśnie wykazać.

Jack: wystarczy przyjąć że tamto n z polecenia to inne n niż to użyte w dowodzie...

Bogdan: Niestety nie można, n to n. Należało zastosować inną literkę w założeniu, np. k i zapisać: KROK 2 − ZAŁOŻENIE Zakładam, że wzór zachodzi dla n = 1, n = 2, n = 3, .., n = k albo Zakładam, że wzór zachodzi dla n = k 4^k + 15k − 1 = 9a

b.: Można też: zakładam, że wzór zachodzi dla pewnej liczby naturalnej n. Chyba nawet można: zakładam, że wzór zachodzi dla liczby naturalnej n, ale tego bym nie polecał. (*) ,,zakładam, że zachodzi dla n'' = ,,zakładam, że zachodzi dla (wszystkich) liczb naturalnych n'' Problem zasadniczo jest taki, że oznaczenia matematyczne nie powinny być częściami zdania. Nie da się ich odmieniać i to może prowadzić do niejednoznaczności. Dlatego w (naprawdę) porządnie zredagowanym tekście pisze się: zakładam, że funkcja f jest... a nie: zakładam, że f jest... pokażę, że ciąg (a_n) spełnia... a nie: pokażę, że (a_n) spełnia... chociaż mało kto pisze aż tak porządnie, nawet w książkach − więc tym bardziej na forum to uchodzi akurat powyższa sytuacja jest jedną z nielicznych, w których ta niedbałość może mieć istotne konsekwencje. Ten błąd w rozumowaniu indukcyjnym (tj. założenie tezy dla wszystkich n, zamiast dla ustalonego n) jest poważnym błędem logicznym i na wszelki wypadek lepiej może nawet napisać więcej słów, żeby pochwalić się, że się tego błędu nie robi... (dlatego nie polecam skrótowej formy (*)) Np. wersja bardzo asekurancka: Niech k będzie pewną liczbą naturalną. Zakładam, że (coś tam) zachodzi dla liczby n=k.