potęgi misia: Hey mam taki problem może ktoś pomoże obliczyć (2+2i)⁴⁸ jak z takim czymś się postępuję? z góry dzięki

Jack: liczysz |z| i korzystasz z tw. Moivere'a.

misia: Niby jak to się robi ? nie znam tego twierdzenia ?nie da się inaczej?

Jack: Jesli z=x+iy, to

	x		y
najpierw liczysz |z|=√x2+y2, cos φ =		, sin φ =
	|z|		|z|

i na koniec z^k=|z|^k(cos kφ +isin kφ).

Jack: to tzw. postać trygonometryczna. Zwykle udaje się sinφ i cosφ zamienić na liczby rzeczywiste.

misia: Ja pierwszy raz o tym słyszę mógłbyś mi to rozpisać proszę będę bardzo wdzięczna .

Jack: ok, co dokładnie masz z tym zrobić?

misia: mam obliczyć i tak samo innymi przykładami z takimi potęgami dużymi

Jack: Ok, to zrobię jeden przykład z=2+2i, |z|=√2²+2²=2√2

	2		√2
cosφ=		=
	2√2		2

	2		√2
sinφ=		=
	2√2		2

	π
stąd wynika, że φ=
	4

	π		π
z48=(2√2)48(cos 48*		+isin 48*		)=
	4		4

=2^3₂*48(cos12π+isin12π)=2⁷²(1+0i)=2⁷².

misia: Aha i tak czarna magia to jak widzę , pierwszy raz słyszę o takiej metodzie , ale dzięki za pomoc

Jack: jesteś licealistką czy już studentką?

misia: 1 rok studiów zaczynam , ale jak widzę te zadania to masakra... pochodne już wolę liczyć bo są prostsze.

Jack: jeśli jesteś na studiach to śmiało naucz się tej metody. Jest prosta i nie wymaga znajomości nie wiadomo czego...

misia: no chyba muszę innej rady nie ma , nie jest trudna ona , ale myślałam , że inaczej się to zrobi , ale i tak wielkie dzięki za pomoc

Jack: zawsze można rozpisać z dwumianu Newtona... ale przy dużych potęgach to karkołomna metoda. Powodzenia

misia: A może mi powiesz jak z to obliczyć 2−i/3−4i?

Jack: trzeba rozszerzyć przez mianownik z przeciwnym znakiem. Dla liczb zesplonych mamy: (x−iy)(x+iy)=x²+y²

misia: Oki już wszystko rozumiem jak poradzić sobie z tymi zadaniami i bardzo dziękuję za pomoc , ale wykładowca nie umie tłumaczyć tylko zadaje a wy sobie róbcie...

Jack: bywa.... przywykniesz do tego.