Monotoniczność i ograniczoność ciągu.. yogii : Witam siedzę nad tym zadaniem juz sporo czasu i nic Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu (an) jeśli a) an = √n² + 4n − n b) an = ¹_1*2 + ¹_2*3 + ¹_3*4 + ... + ¹_n(n+1)

	⎧	a1=4
c)	⎩	an+1=1+2√n	n należy do N

bardzo proszę o pomoc

Jack: zbadaj monotonicznośc wzorując się tym: https://matematykaszkolna.pl/strona/263.html A ograniczenie zbadaj badając granicę przy n→∞.

	1		1		1
W b) możesz zastosować prosty wzór		=		−
	n*(n+1)		n		n+1

Ten ostatni przykłąd chyba inaczej ma wyglądać, hm?

yogii: Tak miał wyglądać przykład c

⎧	a1=4
⎩	an+1=1+2√n

próbowałem badać monotoniczność korzystając z tych wzorów lecz dochodzę do pewnego momentu i nie wiem co dalej zrobić.. a jak zbadać monotoniczność w takim przypadku ? an= ²ⁿ_n!

Jack: tak jak zawsze a_n+1−a_n. OK, myślalem że ten trzeci jest dany rekurencyjnie.

yogii: Przykład c również należy rozwiązać wzorem a_n+1 − a_n ?

yogii: W jaki sposób mogę rozwiązać przykład c ? może mi ktoś podpowiedzieć ?

Jack: c) dla monotoniczności: a_n+1−a_n=1+2√n+1−1−2√n=2(√n+1−√n)>0 dla każdego n∊N, czyli jest monotoniczny

yogii: Dzięki za pomoc Jack. rozwiązując przykład a_n = ²ⁿ_n! dochodzę do pewnego momentu i nie wiem co dalej.. a_n+1= ²ⁿ⁺¹_(n+1)! a_n+1 − a_n = ²ⁿ⁺¹_(n+1)! − ²ⁿ_n! i co teraz wspólny mianownik ? trochę źle widać... mam nadzieję że się ktoś rozczyta

Jack: dokładnie tak. Powinien wyjść z tego ciąg nierosnący.