Wielomiany Tommy: Uzasadnij, że nie istnieje liczba naturalna dodatnia n, dla której liczba n⁴+4n³+8n²+16n+16 byłaby kwadratem pewnej liczby naturalnej. Dzieląc to na czynniki wychodzi: (x+2)(x+2)(x²+4)=(x²+4x+4)(x²+4) Co dalej?

Tommy: Można też to przedstawić jako (n²+4)²+4n(n²+4) Ale dalej mam pustkę w głowie

think: (n² + 4)(n² + 4n + 4) = (n² + 4)(n + 2)² czyli jedna część jest kwadratem liczby naturalnej dla dowolnej liczby naturalnej. teraz tylko trzeba udowodnić, że nie ma takiego n−a naturalnego, że n² + 4 jest kwadratem jakiejś liczby naturalnej. n² + 4 = x² narysuj parabolę n² + 4 i poszukaj przecież z parabolą x² powinny być 2, i pewnie nie będą one dla argumentów naturalnych.

Godzio: Nie jestem pewien tego ale ja bym to tak zrobił od tej postaci: (n + 2)²(n² + 4) Teraz pytamy kiedy może być kwadrat liczby ano tylko wtedy gdy n² + 4 = (n + 2)² −− gdyby było inaczej to nie było by kwadratu n² + 4 = n² + 4n + 4 4n = 0 n = 0 −− n jest dodatnie więc nie istnieje taka liczba

Godzio: ano wiedziałem że coś nie tak

Tommy: Dziękuję jeszcze raz

Jack: Z tymi parabolami n²+4=x² to nie tak chyba. Łatwo podać kontrprzykład dla n²+9=x² (parabole się nigdy nie przetną bo można interpretować to jako przesunięcie jednej o 9 punktów względem drugiej),a jednak istnieje takie n∊N, że n²+9 jest potęgą jakiejś liczby − dla n=4. Wydaje mi się że można pokazać, że aby liczba postać n²+k była potęgą jakiejś liczby konieczne i wystarczające jest, aby k było nieparzyste. Stąd wyjdzie że n²+4 nie może być potęgą liczby naturalnej. Łatwo to zauważyć rozpisując kolejne potęgi liczb naturalnych i patrzyć na ich różnice.

Jack: Teraz widzę że tylko wystarczające... Niemniej najmnijeszą liczbą parzystą k dla której istnieje n²+k będące kwadratem liczby naturalnej jest k=8 (dla n=1). Potem 12, 14 i więcej.