praca domowa z konkursu AGH cubus: Naszkicuj wykres funkcji g : m ! g(m), ktora ka_zdej liczbie rzeczywis− tej m przyporzadkowuje liczbe pierwiastkow rownania 2^2x+2 + 4^x + 4^x−1 + : : : = m + 16^x podobno mozna skorzystac z wzoru na sume ciagu ... a1/1−q=S

Jack: Zamień 2^2x+2 na potęgę 4 i policz iloraz q.

cubus: wiem wiem mam to zapomnialem dopisac q=1/4

Kejt:

	1
Jack, to ma już zrobione.. 22x+2=4x+1 q=
	4

cubus: kejt dzieki za wsparcie

Jack: Ok, no to podstawiaj do wzoru. Potem przerzuć 16^x na drugą stronę i pewnie coś się zredukuje. Na koniec gdy wyjdzie (pewnie) jakaś funkcja wykładnicza trzeba będzie odczytać przedziały w których prosta y=m przecina ten wykres. (nie wiem czy dobrze rozumiem to zadania, jakieś znaczki mi się pojawiają w treści...)

cubus: http://moodle.cel.agh.edu.pl/diament/file.php/1/2010-2011/matematyka_I_etap.pdf wiec masz link zadanie 7

Kejt: Jack, nic się nie redukuje.. tylko ciąg "psuje"..ech. można to co najwyżej przed nawias wyłączyć, ale niewiele to daje.. Ja doszłam do jakiejś bezsensownej postaci, teraz "ani be ani me"..

Jack: wyszło mi tak: 3*4^x+2+4^2x=m △ Asymptota pozioma dla y= 3*4^x+2+4^2x wynosi y=0. Czyli Liczba rozwiązań △ to: dla m>0 istnieje jedno rozwiązanie, dla m≤0 brak. Czyli nasza funkcja g: m → g(m) wygląda tak jak wyżej.

cubus: a teraz jezeli mozesz to krok po kroku

Jack: mógłby to najpierw ktoś sprawdzić, żebym nie pisał niepotrzebnie

Kejt: skąd wytrzasnąłeś 3*4^x+2+4^2x?

cubus: spoko dawaj bo moj matematyk i tak sie zdziwi ze tyle zrobilem

Jack: dzięki za pytanie... pomyliłem się ze znakiem i walnąłem się z liczbą 3. Początek pochodzi stąd

	a1		4x+1
S=		=		=4x+1*4*13. Potem chciałem przenieść 16x na drugą
	1−q		1−14

stronę ale zapomniałem o znaku.

	4x+2
czyli		−16x=m
	3

Jack: teraz można podstawić t=4^x i liczyć pierwiastki wyrażenia po lewej stronie przyrównanego do 0.

cubus: ha czyli pomysl byl dobry i nawet daleko doszedlem

Jack: co myślisz, Kejt?

Kejt: zły wzór miałam.. dlatego utknęłam.. ech.

cubus: a mozesz mi jakos to szerzej objasnic post kolo wykresu nie za bardzo ogarniam co z tym m ?

Jack: ok, rozwiązałeś równanie?

cubus: yhm ale nie wiem czy dobrze mam wyniki t=0 v t= 16/3 ale pojecia nie mam czy dobrze

Jack: dobrze, teraz wróć do podstawienia. Miało być t=4^x, t>0. A więc t=0 odpada. Zostaje t=16/3. Teraz przydało by się policzyć lim_x→±∞ oraz sprawdzić występowanie ekstremów (miałeś coś takiego w szkole?)

Jack: (i taki szczegół: 16/3=4^x ⇒ x=log₄ 16/3)