marta: Dla jakich liczb naturalnych n liczba 4n² +4n −7 jest kwadratem liczby naturalnej.

sushi_ gg6397228: Δ=0 i liczymy

Bogdan: sushi − ciekaw jestem Twojego pomysłu na rozwiązanie tego zadania, czy możesz kontynuować jego rozwiązywanie.

marta: pomożecie ?

sushi_ gg6397228: zwinac sie nie da do postaci (a+b)² dla n=1 pasuje

Bogdan: 4n² + 4n − 7 = x² ⇒ 4n² + 4n + 1 − 8 = x² ⇒ (2n + 1)² = x² + 8 (2n + 1)² − x² = 8 (2n + 1 + x)(2n + 1 − x) = 8, 8 = 1*8 = 2*4 = 4*2 = 8*1 (uwzględniamy tu liczny naturalne) Tworzymy układy równań: 2n + 1 + x = 1 2n + 1 + x = 2 2n + 1 + x = 4 2n + 1 + x = 8 2n + 1 − x = 8 2n + 1 − x = 4 2n + 1 − x = 2 2n + 1 − x = 1 Odejmujemy równania stronami: 2x = −7 odrzucamy, 2x = −2 odrzucamy, 2x = 2 ⇒ x = 1, 2x = 7 odrzucamy Otrzymaliśmy 4n² + 4n − 7 = 1 ⇒ 4n² + 4n − 8 = 0 ⇒ n² + n − 2 = 0 n = 1 lub n = −2 odrzucamy. Odp.: n = 1

marta: dzięki już trochę wcześniej zrobiłam inna metodą ale wyszło to samo

think: Zdaje się że można rozwiązać układ równań f(n) = 4n² + 4n − 7 g(n) = n² oczywiście interesują nas rozwiązania naturalne n² = 4n² + 4n − 7 3n² + 4n − 7 = 0 Δ = 16 + 84 = 100 √Δ = 10

	−4 + 10
n1 =		= 1
	6

	−4 − 10		1
n2 =		= −2
	6		3

Czyli rozwiązaniem jest 1

think: wiem, że po czasie ale tak na przyszłość może to całkiem fajna i prosta metoda rozwiązywania tego typu zagadnień o ile Bogdan nie zauważy w niej żadnych uchybień

Bogdan: Zauważyłem uchybienie. Zilustruję przykładem. Weźmy f(n) = 2n² + 3n + 11, f(2) = 25 = 5² Dla n = 2 wyrażenie 2n² + 3n + 11 i n∊N jest kwadratem naturalnej liczby 5. Sprawdź think swoją metodą, czy 2n² + 3n + 11 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej, czyli czy otrzymasz rozwiązanie n = 5.

think: a było już tak bosko a wyszło jak zwykle... No trudno od jutra znów spróbuję zająć się naprawianiem błędów własnych oczywiście.

Bogdan: Błędem było przyjęcie założenia: n² = f(n). Należy tu przyjąć inne oznaczenie, np.: k² = f(n), ja zastosowałem x² = f(n).

think: zdaję sobie sprawę ale właśnie dzięki ujednoliceniu zmiennych rozwiązanie problemu było jak takie proste i piękne

think: dobra wracam do pracy, będę później