Funkcja odwrotna MarQ: Wyznacz funkcję odwrotną do funkcji y=3x²+2x+1 nie wiem jak to doprowadzić do końca... gdy liczę deltę wychodzi mi liczba poniżej 0... z góry dzięki

Bogdan: Funkcja kwadratowa nie jest funkcją różnowartościową, nie istnieje więc funkcja do niej odwrotna.

think: y = 3x² + 2x + 1 / ln lny = ln3x² + ln2x + lne lny = ln3 + 2lnx + lnx + lne lny − ln3e = 3lnx

	y
ln		= 3lnx / :3
	3e

	y
ln(		)1/3 = lnx
	3e

	y
x = (		)1/3
	3e

czyli funkcja odwrotna to

	x
y = (		)1/3
	3e

think: więc żeby nie było takiej kompromitacji, to z warunkiem, że dla x,y >0

Bogdan: też nie

Bogdan: f(x) = 3x² + 2x + 1

	1		2
Wierzchołek paraboli W = (xw, yw) = (−		,		)
	3		3

	1
Funkcja określona wzorem: f(x) = 3x2 + 2x + 1 dla x∊<−		, +∞) (wykresem jest
	3

prawa gałąź paraboli) posiada funkcję odwrotną,

	1
a także funkcja f(x) = 3x2 + 2x + 1 dla x∊(−∞, −		> (jej wykresem jest lewa gałąź
	3

paraboli) posiada funkcję odwrotną.

Bogdan: Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych są symetryczne względem prostej y = x

	1
Funkcję odwrotną do funkcji f(x) = 3x2 + 2x + 1 dla x∊<−		, +∞) wyznacza się tak:
	3

y = 3x² + 2x + 1 ⇒ 3x² + 2x + 1 − y = 0 Rozwiązujemy ostatnie równanie z niewiadomą x. Δ = 4 − 12(1 − y) = 12y − 8 = 4(3y − 2, √ Δ = 2√3y − 2

	−2 + 2√3y − 2		−1 + √3y − 2
x =		=
	6		3

lub

	−2 − 2√3y − 2		−1 − √3y − 2
x =		=
	6		3

Zamieniamy w ostatnich wyrażeniach literki miejscami:

	−1 + √3x − 2		−1 − √3x − 2
y =		lub y =
	3		3

Jeśli funkcja y = f(x) jest rosnąca, to funkcja do niej odwrotna y = f⁻¹(x) jest też

	−1 + √3x − 2		2
rosnąca. Rosnącym wykresem jest y =		dla x∊<		, +∞)
	3		3

	1		−1 + √3x − 2
f(x) = 3x2 + 2x + 1 dla x∊⇒<−		, +∞) ⇒ f−1(x) =
	3		3

Jeśli funkcja y = f(x) jest malejąca, to funkcja do niej odwrotna y = f⁻¹(x) jest też

	−1 − √3x − 2		2
malejąca. Malejącym wykresem jest y =		dla x∊<		, +∞)
	3		3

	1		−1 − √3x − 2
f(x) = 3x2 + 2x + 1 dla x∊⇒(−∞, −		) ⇒ f−1(x) =		.
	3		3

think: Dziękuję Bogdan, będe musiała sobie to powtórzyć. Chyba po prostu sobie coś źle zakodowałam przy funkcjach odwrotych

Gustlik: Bodzio − trochę pokombinowałeś. Najlepiej najpierw przekształcić na postać kanoniczną: y=3x²+2x+1

	−b		−2		1
p=		=		=−
	2a		6		3

Δ=4−4*3*1=4−12=−8

	−Δ		8		2
q=		=		=
	4a		12		3

	1		2
y=3(x+		)2+
	3		3

	2		1
y−		=3(x+		)2 /:3
	3		3

2   y−   3		1
	=(x+		)2 /√
3		3

	2   y−   3		1		2   y−   3		1
√		=x+		lub −√		=x+
	3		3		3		3

	2   y−   3		1		2   y−   3		1
√		−		=x lub −√		−		=x
	3		3		3		3

	2   x−   3		1		2   x−   3		1
y=√		−		lub y=−√		−
	3		3		3		3

Można jeszcze zrobić trochę kosmetyki, żeby pozbyc się ułamków piętrowych. Ale najlepiej przez postać kanoniczną.

Bogdan: Gustliku, co nazywasz kombinowaniem w bezpośrednim wyznaczeniu pierwiastków równania kwadratowego zupełnego z zastosowaniem wyróżnika Δ? Też przecież wyznaczałeś Δ. Ja po delcie wyznaczałem x₁, x₂ otrzymując od razu wzór funkcji odwrotnej, w Twoim rozwiązaniu trzeba po Δ wyznaczyć: p, q i postać kanoniczną, potem wykonać jeszcze kilka przekształceń. Jest więc więcej u Ciebie więcej roboty, zresztą sam uważasz, że potrzebna jest jeszcze w Twoim rozwiązaniu kosmetyka. Poniższą uwagę nie kieruję do Ciebie Gustliku. Generalnie, jeśli funkcja f(x) jest bijekcją, to przy wyznaczaniu wzoru funkcji odwrotnej do takiej funkcji, wyznaczamy argument funkcji i w drugim kroku zamieniamy miejscami literki oznaczające zmienne.

Qbicz: Q=0,049398x²+22,6108x−1,3321