Zabawa z liczbami całkowitymi smmileey: Siema, problem jest następujący: "Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p²−1 jest liczbą podzielną przez 24" Zawiesiłem się, że tak to ujmę na tym zadaniu. Jedyne, co mi się nasuwa na myśl, to, że (p−1)(p+1) to kolejne dwie liczby parzyste (gdyż p będzie zawsze nieparzyste) Z tego by wynikało, że wynik mnożenia będzie zawsze liczbą podzielną przez 4. Ale nie wiem co dalej i czy to w ogóle dobry trop. Da ktoś radę? Pozdrawiam

Ломоно́сов: Wskazówka: Jeżeli liczba jest podzielna przez 24, to jest również podzielna przez 3 i 8. Musisz udowodnić, że wyrażenie p²−1 jest podzielne przez 3 i 8.

smmileey: Zero pomysłów. Może ktoś podać całe rozwiązanie?

Ломоно́сов: Rozbiłeś na wzory skróconego mnożenia. I dobrze, to będzie przydatne. Udowodnię, że wyrażenie p²−1 jest podzielne przez 8. Z treści zadania wiemy, że p jest liczbą pierwszą większą od 3. Liczbą pierwszą nazywamy liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą. Skoro mamy p>3, to odpada jedyna liczba pierwsza parzysta, czyli 2. Zatem p będzie liczbą pierwszą, nieparzystą, większą od 3. Takie liczby możemy wyrazić wzorem: 4n+1, gdzie n∊N Teraz wystarczy podstawić w miejsce p wyrażenie powyżej: p²−1 = (4n+1)²−1 − z wzoru skróconego mnożenia 16n² + 8n + 1−1 = 16n² + 8n = 8(2n²+n), co kończy dowód Teraz spróbuj udowodnić, że p²−1 jest podzielne przez 3.

smmileey: Nie wiem, poddaje się. Wyszło mi znów, że się dzieli przez 4, gdy ustaliłem wzór p=2n+3, gdzie n∊N. (Ломоно́сов− ten twój wzór 4n+1 nie wskazuje tylko liczb pierwszych, nieparzystych większych od 3, ale także zwykłe nieparzyste, np. 9. Możesz udowodnić, że jest podzielne przez 3?)

smmileey: No dobra, znalazłem więcej zastrzeżeń w twoim rozwiązaniu (wzór nie obejmuje na przykład cyfry 7).. Rozkminiałem to sam, ale nie wiem, czy dobrze. Skoro mają to być liczby pierwsze, większe od 3, to rzeczywiście będą to liczby nieparzyste. W takim wypadku zachodzi własność, że dzieląc taką liczbę przez 3 otrzymamy resztę 1 lub 2. Można więc zapisać, że : p=3n+2, dla n=(2k+1), gdzie k∊⊂ ⋁ p=3n+1, dla n=2k, gdzie k∊⊂+ Tutaj podkładając pod p²−1 otrzymamy : w pierwszym przypadku: (2n+3)²−1=4(n²+3n+2)=2(2n²+6n+4) w drugim przypadku : (3n−1)²−1=3(3n²−2n) Czyli wyrażenie zawsze dzieli się przez 2,3 i 4, czyli dzieli się zawsze przez 24. Czy jest w tym rozumowaniu jakiś błąd?

smmileey: och widzę kilka błędów, no dobra, nie mam na to sił. Może ktoś zrobi.