Liczby
Christopher:
Przedstaw liczbę 1 w postaci 3√a−b√c + 3√a+b√c a,b,c∊N
O odpowiedź proszę suchi(nie znam tu jeszcze nikogo,a zauważyłem,iż
bardzo aktywna na tym Forum)
26 wrz 12:46
Godzio:
1 = 3√2 − √5 + 3√2 + √5 −−−− a = 2, b = 1, c = 5
26 wrz 12:49
Christopher:
Stokrotne dzięki.Ale jak to wydedukowałeś?
26 wrz 14:47
Godzio:
szczerze, ostatnio robiłem zadanie żeby to udowodnić
ale można to tak zrobić:
(1 +
√5)
3 = 16 + 8
√5 /: 8
analogicznie z minusem i po usunięciu pierwiastka zostaje:
| 1 | | √5 | | 1 | | √5 | |
| + |
| + |
| − |
| = 1 |
| 2 | | 2 | | 2 | | 2 | |
26 wrz 14:52
Godzio: Ogólnie musisz utworzyć wzory skróconego mnożęnia pod pierwiastkami żeby pierwiastki się
skróciły a suma zwykłych wyrazów dała 1
26 wrz 14:57
Bogdan:
Fajne zadanko. Dawno tu takiego nie było.
3√ a + b√ c +
3√ a − b√ c = 1
Jest nieskończenie wiele rozwiązań.
Dla ułatwienia przekształceń oznaczam b
√c = d ⇒
3√ a + d +
3√ a − d = 1
Korzystam z wzoru skróconego mnożenia: A + B = (
3√A +
3√B)(
3√A2 −
3√AB +
3√B2)
3√ a + d +
3√ a − d = 1 / * (
3√ (a + d)2 −
3√a2 − d2 +
3√ (a − d)2 )
a + d + a − d =
3√ (a + d)2 −
3√a2 − d2 +
3√ (a − d)2
2a +
3√a2 − d2 =
3√ (a + d)2 +
3√ (a − d)2
dodaję 2
3√a2 − d2 do każdej ze stron równości:
2a + 3
3√a2 − d2 =
3√ (a + d)2 + 2
3√a2 − d2 +
3√ (a − d)2
2a + 3
3√a2 − d2 = (
3√a + d +
3√a − d)
2, ale prawa strona jest równa 1
2 = 1
2a + 3
3√a2 − d2 = 1 ⇒ 3
3√a2 − d2 = 1 − 2a podnoszę obustronnie do 3 potęgi:
27a
2 − 27d
2 = 1 − 6a + 12a
2 − 8a
3 ⇒ 8a
3 + 15a
2 + 6a − 1 = 27d
2
po rozłożeniu lewej strony na czynniki i wstawieniu b
√c w miejsce d otrzymuję:
| | (a + 1)2)(8a − 1) | |
(a + 1)2(8a − 1) = 27b2c ⇒ c = |
| |
| | 27b2 | |
Biorąc różne wartości a, b otrzymuję wartości c. Wymieniam niektóre z nich:
a: 1 2 2 5 5 5 8 8 11 11
b 1 1 5 1 2 4 1 3 1 2
| | 28 | | 1 | | 1 | |
c |
| 5 |
| 52 13 3 |
| 189 21 464 116 |
| | 27 | | 5 | | 4 | |
Przykłady:
3√ 2 + √ 5 +
3√ 2 − √ 5 = 1,
3√ 5 + √ 52 +
3√ 5 − √ 52 = 1
3√ 5 + 2√ 13 +
3√ 5 − 2√ 13 = 1,
3√ 8 + 3√ 21 +
3√ 8 − 3√ 21 = 1
Podaję przykłady tylko dla liczb całkowitych, ale można podać przykłady dla dowolnych liczb
| | 1 | |
z zastrzeżeniem: c ≥ 0 i a ≥ |
| i b ≠ 0 |
| | 8 | |
26 wrz 17:12
Christopher:
Lista zastrzeżeń i warunków,chyba jeszcze niekompletna.Zwłaszcza
dla "klasycznej" postaci zadania(a,b,c∊N).Sądzę np: że c≠3
Oczywiście,także np: a=5,b=2,c=13 "⇔" a=5,b=1,c=52
27 wrz 12:43