r=-2, znajdź pozostałe pierwiastki wielomianu W(x) m.: W(x)=x³−x²−16x−20

mila: jezeli pierwiastkiem jest −2 to wielomian dzieli sie przez x−(−2) czyli przez x+2 podziel go i otrzymasz równanie kwadtratowe oblicz Δ i pierwiastki

Svanar: dzielisz przez (x+2): W(x) = x³ + 2x² − 3x² − 6x − 10x − 20 = x²(x+2) − 3x(x+2) − 10(x+2) =(x+2)(x² − 3x − 10)= 1* x²−3x−10 = (x−5)(x+2) Δ = 9 + 40 = 49 √Δ = 7 x₁ = 5 x₂ = −2 1* = (x+2)(x+2)(x−5) = (x−2)²(x−5)

m.: dziękuję bardzo, nareszcie zrozumiałam o co chodzi

mila: A dzieliłaś czy przepisałaś ? Bo warto umiec dzielić

m.: właśnie mam problem z tym dzieleniem, jak to się dokładnie robi?

Kejt: https://matematykaszkolna.pl/strona/107.html

m.: heh, dziękuję bardzo wszystkim, po prostu podzieliłam pisemnie, ale pomyliłam się w jednym miejscu i przez to wyszło mi ofc co innego niż trzeba

m.: btw czy można to robić jeszcze innym sposobem ? czy tylko dzieląc ?

mila: tak jak dzielenie pisemne x²−3x−10 x³ −x²−16x− 20 : x+2 x³−2x² −3x²−16x 3x²+6x −10x−20 10x+20 nie umiem kresek zrobic czy to jest dla Ciebie jasne pytaj jakby co

mila: jest inny sposób schemat Hornera ponoć prostszy ale ja nauczyłam sie w szkole dzielić a tamtego sposobu nie przerabialismy

m.: a gdy mam W(x)= x⁴ + 2x³ −7x² −8x +12 i r=2 to jak zrobić ? też dzielić? bo na lekcji mieliśmy jakoś sposób jeszcze że p i q i x0....

Kejt: znasz twierdzenie bezouta?

m.: W(r)=0 ? tyle wiem w tym temacie

Kejt: Twierdzenie Bezout: jeśli "x₀" jest pierwiastkiem wielomianu, to wielomian ten jest podzielny bez reszty przez x−x₀.

Svanar: MILA grupowałem wyrazy...

mila: grupowanie wyrazów nie zawsze na pierwszy rzut oka jest proste.A jeżeli sprawdzimy na wyrazie wolnym jakie sa pierwiastki to podzielić zawsze sie da

m.: a jeśli chodzi o ten przykład ? W(x)= x4 + 2x3 −7x2 −8x +12 r=2

Kejt: W(x) jest podzielne przez x−2.

mila: Napisała Ci to u góry jeżeli ma pierwiastek −2 to dzieli sie przez x−(−2) Przy wielomianach patrzysz na wyraz wolny i sprawdzasz jakie ma dzielniki ta 12 ma −1 −2 −3 −−4 − .....+2+...6. podstawiasz za x taki dzielnik i jezeli wynik=0 to znaczy,ze tal iczba jest pierwiastkiem.A wtewdy można rozłożyć wielomian dzieląc przez x−p p pierwiastek

m.: to może zapytam inaczej: kiedy dzielimy a kiedy używa się p i q ?

mila: nie bardzo wiem o co chodzi Mozesz szerzej

m.: heh, wiec powiem może jak to wytłumaczono mi w liceum dla 12 p|12 wiec p ∊ + − {1,2,3,4,6,12} a q|1 i wtedy x0 ∊ +− {1,2,3,4,6, 12} i po kolei obliczam dla każdego x0. po prostu nie dzieliliśmy, tylko robiliśmy w taki sposób.

Svanar: nie rozumie o co Ci chodzi.... napisała jaki jest pierwiastek, więc co za problem podzielić ?

m.: mam mnóstwo pytań, jedne może i głupie, ale ciężko dla mnie jest to zrozumieć na lekcji, dlaczego, co i jak się robi. może i teorie znam, ale za bardzo nie potrafię tego wykorzystać w zadaniach, czesto nie wiem o co w nich chodzi. chyba muszę zainwestować w korki ;>

m.: ale bardzo wam dziękuję, może trochę bardziej kumam o co chodzi

Tomek.Noah: W(x)=x3−x2−16x−20 r=−2 W(x)=(x−R)Q(x) (x−R) prawo pana B. x³−x²−16x−20=(x+2)(x²+mx+n) wymnuz to a potem przyrownaj lewa do prawej najprostsza metoda jaka znam

mila: .Podstawia sie dzielniki w miejsce x jezeli wyjdzie 0 to ta liczba jest pierwiastkiem.Jezeli masz wszyskie pierwiastki to wielomian =(x−p)(x−p₂)(x−p₃) o to ci chodziło ?

m.: wiem że się podstawia dzielniki tylko nie wiem kiedy podstawiać, a kiedy dzielić tak jak w 1. przykładzie

mila: najpierw za x podstawiasz dzielniki .Gdy trawisz na taki ,ze wielomian =0 to wtedy dzielisz wielomian przez x−ten dzielnk .I tym sposobem powstje ci wielomian o niższej potędze.J podstaw do tego drugiego wielomianu za x 2 to wyjdzie zero .a teraz podstaw 3 i napisz ile wyszło

Tomek.Noah: x³−x²−16x−20=(x+2)(x²+mx+n) najpierw czerwone rownanie x³+mx²+nx +2x²+2mx+2n sumujemy x³+(2+m)x²+(n+2m)x+2n x³−x²−16x−20=x³+(2+m)x²+(n+2m)x+2n i teraz wielomiany sa sobie rowne wtedy i tylko wtedy gdy wspolczyniki sa sobie rowne a wiec −1=2+m −16=n+2m −20=2n m=−3 n=−10 x³−x²−16x−20=(x+2)(x²−3x−10) i teraz rozbijasz trojmian na pierwiastki i wlola!

mila: m co zTobą ?

mila: nie wiesz co robić ?

m.: zrobiłam wcześniej ten przykład, po prostu podstawiając i ciekawa bylam czy robi się tak zawsze i tyle. ale widzę że ile osób tyle sposobów i każdy mówi niby o tym samym, a jakby w innym języku. miłej soboty życze wszystkim

mila: to napisz ile ci wyszło dla 3 .Uwazam ,ze to strasznie dużo liczenia i lepiej dzielić

m.: to przykłady ze zbioru, mam podane odpowiedzi, więc dla przykładu W(x) = x⁴ + 2x³ −7x² −8x + 12 będzie W(x) = (x+1) (x−2) (x+3) podstawiałam każdy dzielnik pod x. no i wyszło, chociaż faktycznie dużo tego było. ale inaczej, jak podzieliłam W(x) przez (x−2) wyszło x³ +4x² + x −6 i później trzeba hornera ?

mila: Radze nie liczyc na odpowiedzi bo na sprawdzianie nie bedzie i nauczyć się dobrze dzielić albo korzystać ze schematu Hornera Szybciej to idzie niż podstawianie dzielników Twoim zadaniu wiemy ,że pierwiastek=2 tzn że mozemy wielomian podzielic bez reszty przez x−2 x³ +4x² +x −6 x⁴+2x³−7x²−8x+12 x−2 −x⁴+2x³ 4x³−7x² −4x³+8x² x²−8x −x²+2x −6x+12 6x−12 teraz sprawdzam ,który z dzielników 6 podstawiony za x da wynik 0 biore x=1 1³+4*1²+1−6=0 udało sie czyli wielomian dzieli sie przez x−1 x²+5x+6 x³+4x²+x−6 : x−1 − x³+x² 5x²+x − 5x²+5x 6x−6 −6x+6 x²+5x+6 =0 Teraz Δ Δ=25−24=1 x₁=(−5+1) :2=2 x₂=(−5+1):2=3 x⁴+2x³−7x²−8x+12=(x−2)(x−1)(x−2)(x−3)

Gustlik: W(x)= x³ −x²−16x− 20 Robisz schemat Hornera − opis jest tutaj: https://matematykaszkolna.pl/strona/1401.html : 1 −1 −16 −20 ← Współczynniki W(x) −2 1 −3 −10 0 ← −2 jest pierwiaskiem Otrzymaliśy funkcję kwadratową: x²−3x−10 Δ=(−3)²−4*1*(−10)=9+40=49 √Δ=7

	3−7
x1=		=−2
	2

	3+7
x2=		=5
	2

Odp: x=−2 (2−krotny, bo się powtórzył) v x=5

m.: dzięki bardzo jeszcze raz

(4X-3)*(4X+3)-8X(X-2)=-17:

(4X-3)*(4X+3)-8X(X-2)=-17: