5 zadań: Ekstrema; Całki; Całki geometria. Misiek: Zad 1. Wyznacz ekstrema funkcji: f(x,y)=x²−xy+2y²−x+4y−5 Zad 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami y=x² oraz y=1−3x² Zad.3 Oblicz długości łuku krzywej danej równaniami parametrycznymi: x(t)=r(cost + tsint); y(t)=r(sint−tcost); (0<=t<=2π), r=const>0 Zad 4. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej

	1
y=		; x∊<2,4>
	√x2−1

Zad 5. Oblicz:

	+∞		1
∫				dx
	1		3√x

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań.

Jack: Zad1 Policz pochodne cząstkowe f_x, f_y. Rozwiąż układ równań dla f_x,=0 f_y=0. Policz f_xx, f_xy i określ znak W=f_xx(x₀,y₀)*f_yy(x₀,y₀)−f²_xy(x₀,y₀). Zad 2. Zrób rys. Znajdź punkty przecięcia funkcji. Oblicz odpowiednią całkę |∫^a_bf(x)−g(x) dx| Zad 3. Podstaw do odpowiedniego wzoru http://pl.wikipedia.org/wiki/Długość_łuku Zad 4 Na początek spróbuj zrobić rys. Zad5 Policz całkę nieoznaczoną z tego ułamka. Podstaw przedziały calkowania.

AS: Podaję odpowiedzi do zadań 1. Ekstremum w P(0,−1), wartość ekstremum f(0,−1) = −7 2. P = 1 3. Długość łuku; 2*π*r

	π
4. Objętość: V =		*ln(1/5)
	2

5. ∞

Misiek: W każdym zadaniu wychodzi mi inny wynik niż podał AS. Ale się nie zrażam. Ciągle walczę z zadaniami W pierwszym na przykład mam P(8,1)

Misiek: Ad. 4. Korzystam z wzoru V=π∫_a^b[f(x)]²dx

	1
V=π∫24[		]2 dx =
	√x2−1

	1
=π∫24		dx = J
	x2−1

	1		1		A		B
J=		=		=		+		... A=−12 ; B=12
	x2−1		(1+x)(1−x)		x+1		x−1

dlatego wracając do całek:

	π		1		π		1
−		∫24		dx +		∫24		dx
	2		x+1		2		x−1

licząc dalej wychodzi mi, że objętość jest na minusie. Proszę o pomoc w rozwiązaniu.

AS:

	π
W 4) faktycznie kropnąłem się w znaku − wynik V =		*ln(5)
	2

w W 1) Wynik poprawny: P(0,−1) Do rozwiązania układ równań 2*x − y − 1 = 0 −x + 4*y + 4 = 0

Misiek: Sprawdziłem zadanie 1) mój błąd. Wciąłem jeden minus i wyszło moje P(8,1) zamiast P(0,1). Dzięki wielkie. Do AS'a jeśli jeszcze zajrzysz jeszcze to możesz mi powiedzieć, czy to co wymyśliłem (moje obliczenia do zadania 4) są dobre? P.S. Oczywiście będę wdzięczny również za pomoc innych

AS: Dokończenie zad..4 − rozw.poprawne

π		π		x − 1
	(−ln(x + 1) + ln(x − 1)) =		*ln
2		2		x + 1

Podstawiam granice

π		4 − 1		2 − 1		π		3		1
	(ln		− ln		) =		(ln		− ln		) =
2		4 + 1		2 + 1		2		5		3

π		π		9
	*ln[(3/5)/(1/3)] =		*ln
2		2		5

AS: Miałem swój zły dzień W zad. 2 odp.prawidłowa P = 2/3 Przepraszam

Misiek: Wyjaśnienie 4 miodzio. Dzięki. W drugim wynik wychodził mi P=2/3, ale z minusem. Zdecydowanie muszę się skupić nad znakiem minus. Ciągle sprawia mi kłopoty.

Godzio: Misiek, dlatego nakłada się bezwględność

	2		2
P = | ...| = |−		| =
	3		3

AS: Bo należy odejmować pole pod krzywą "niżej" położonej od pola krzywej "wyżej" położonej.

Misiek: Dzięki, próbowałem właśnie dociec co brać jako f(x), a co jako g(x), we wzorze P=∫_a^b[f(x)−g(x)]dx Muszę narysować sobie te dwie krzywe. Dzięki