Ciąg liczb edi: Zaczynajac od cyfry 1 kazda cyfra pisana jest tyle razy jaka jest jej wartosc.Przykladowo 122333444455555666666777777788888888999999999101010101010101010101111111111 111111111111......itd Pytanie jest takie jaka cyfra bedzie na miejscu 1999tym

think: w sumie jest to dość ciekawe zadanie z ciągu arytmetycznego. Szukamy takiego n, że S_{n − 1} < 1999 < S_{n + 1}

	a1 + an
Sn =		n
	2

think: a właściwie to już nawet prawdziwe będzie takie coś: S_n−1 < 1999 ≤ S_n

Jack: o jakim ciągu arytmetycznym piszesz? I po czym sumujesz?

think: Dla mnie to ciąg arytmetyczny... 1 22 333 4444 . . . nnnnnnnn...n

Jack: polemizowałbym...

think: 1 zajmuje jedno miejsce 2 zajmuje dwa miejsca 3 zajmuje trzy miejsca . . . n zajmuje n miejsc Liczba zajmowanych miejsc tworzy ciąg arytmetyczny. Jack jeśli coś mam nie tak to daj inne rozwiązanie. W końcu i tak się mylę częściej niż bym chciała

think: ehhh dobra diabeł tkwi w szczegółach, cyfra czyli chodzi o 1 − 1 cyfra 22 − cyfry 333 − 3 cyfry 4444 − 4 cyfry 55555 − 5 cyfr 666666 − 6 cyfr 7777777 − 7 cyfr 88888888 − 8 cyfr 999999999 − 9 cyfr 10101010101010101010 − 20 cyfr ale to musi być błąd w poleceniu, bo 10 nie jest cyfrą, więc chodzi o liczby i wtedy moje zadanie jest dobrze zrobione.

Jack: rekurencyjnie to jakoś tak (na wyrazy Twojego ciągu): a₁=1 a_n=a_n−1*10+[¹₉*10ⁿ]+n−1 dla 9≥n≥2 ,gdzie [ ] , oznacza funkcję entier. ¹₉=0,1111.... Co dalej... sam się zastanawiam.

Jack: Wydaje mi się że właśnie o to chodzi w zadaniu. Z jednej strony układamy w ciąg normalne liczby (takie nasze spostrzeżenie), a z drugiej widzimy tam ciag cyfr. Jesli o to chodzi, to zadanie jest faktycznie ciekawe, jak zaznaczyłaś

Jack: Twój trop jest ok. Najpierw mamy ten ciąg a_n: 1+2...+9 = 45 (trzeba przeliczyć bo strrzelam). Potem bierzemy b_n={20, 22,..., (2n+18)}. Ostatni wyraz dla liczby 99 jest 90. wyrazem tego ciagu. Prawdopodobnie w tym się zamknie 1999 cyfra.

think: no to sumujemy takie wyrazy:

	10 + 99
1 + 2 + ...+ 9 + 20 + 22 + ....+ 198 = 45 + 2(10 + 11 + ... + 99) = 45 + 2*		*90 =
	2

45 + 9810 = 9855 a to zdecydowanie za dużo modyfikacja: 9 < n < 100

	10 + n
1 + 2 + ...+ 9 + 20 + 22 + ....+ 2n = 45 + 2(10 + 11 + ... + n) = 45 + 2*		*(n − 9) ≥
	2

1999 45 + (10 + n)(n − 9) ≥ 1999 (10 + n)(n − 9) ≥ 1954 n² + n − 2044 ≥ 0 Δ = 8177 n₁ = U{−1 + √Δ{2} ≈44,7 n = 45 1999 − 45 = 1954 ← liczba parzysta więc chodzi o cyfrę jedności liczby dwucyfrowej Odp: 5

Jack: z liczb od 1 do 9 mamy 45 cyfr. z liczb dwucyfrowych będziemy potrzebowali 1999−45=1954 cyfry. licząc od razu ciąg cyfr dla liczb dwucyfrowych mamy: b_n=2n+18 (b₁=20, b₂=22 itd)

	20+2n+18
Szukamy więc n dla którego Sn=		*n=1954
	2

3908=2n²+38n n₁≈35,7 n₂≈−..... Trzeba to policzyć i wybrać największą liczbę naturalną ≤n₁. To będzie 35. A więc mamy 1954 cyfrę w rzędzie 353535353535......35. Teraz trzeba policzyć czy to będzie "3" czy "5". Cyfra "1" z liczby "1010101010101010" była 46 cyfrą, a skoro przybywa ich co dwie liczby to znaczy, że nieparzystą cyfrą będzie każda na parzystym miejscu z tych (12121212..12 czy 23232323...23), a więc z 35353535...35 to będzie "5".

Jack: no i wszystko gra Ja tego pierwiastka nie liczyłem, zdałem się na internet. Ale ładnie się udało to zrobić, dwoma zdaje się sposobami.

think: no i nic nie szkodzi, że mi wyszło 45 a Tobie 35 5 na końcu najważniejsze ?

Jack: czemu "1 + 2 + ...+ 9 + 20 + 22 + ....+ 2n = 45 + 2(10 + 11 + ... + n)" ? Co to "n" znaczy? Czy to "2n" nie miało być czasem wzorem na ogólny wyraz w ciągu 20,22,24,...?

Jack: bo oczywiście 1,2,3,...8,9,20,22,24,....2n nie jest ciągiem arytmetycznym. I ten końcowy wzór "2n" jest dla niego nieprawdziwy.

think: n to liczba np n = 45; 2*n oznacza że składać się ona będzie z 90 cyfr bo sumuję cyfry.

Jack: wydaje mi się że tak nie można. Dlatego że n∊N, czyli mogłoby być 1,2,3... . Zapis "2n" na koniec ciagu "20,22,24... 2n" oznacza przesunięcie wyrazów ciągu i zliczanie od wyrazu 10., pomijając pierwsze dziewięć. Wg mnie powinnaś dopisać jeszcze 2n +18. Ale nie jestem tego do końca pewien.

think: Jack liczba 10 zapisana 10−cio krotnie składa się z 20 = 2*10 cyfr liczba 11 zapisana 11−sto krotnie składa się z 22 = 2*11cyfr liczba n zapisana n−krotnie składa się z 2*n cyfr

think: i tego nie oddam jestem pewna zresztą możesz przecież to sprawdzić gdyby n = 35 tak jak Ci to wyszło to mielibyśmy takie sumy cyfr:

	45
1 + ... + 9 + 20 + ... + 70 = 45 + 2(10 + ... + 35) = 45 + 2*(		(35 − 10 + 1) = 45 +
	2

45*26 = 45*27 = 1215 cyfr

Jack: No i zaczynasz liczyć te "n" od 10, a nie od 1. Czyli przesuwasz "n" od 9 punktów za wysoko. Robisz podstawienie n=k+9, dla k∊N. Inaczej, jakiekolwiek n by Ci dalej nie wyszło wyjdzie o te 9 punktów za wysokie.

Jack: No wiesz, moim wzorem co innego wychodzi Tak mnie nie przekonasz Właścwie tego się tylko czepiam (pomijam to że zaokraglilaś na końcu w górę tę liczbę, a nie wzięłaś cześć całkowitą, stąd obsuwka o 1 punkt, którego brakuje do naszej dziesięciopunktowej róznicy)

Jack: Sprawdźmy tak: 20 + 22 + 24 + 26 = 92 Twój sposób: 20+ 22 + .... +2n =92 2(10+11+...+n)=92

10+n
	(n−9)=46 (już widać, że n>9 a przecież tak być nie może!)
2

(10+n)(n−9)=92 n=13 lub n=−14 Obsuwka o 9 punktów! Powinno wyjśc n=4, co widać. Wszystko przez to że nie dodałem 18, bo 18=2*9

think: Jack, mam dobrze. U Ciebie też by było tak samo, gdybyś: 1* bierzemy zaokrąglenie w górę n₁ bo wynik pokazuje, że n = 35 się zmieściło i zaczynasz n = 36 2* pominąłeś 9 pierwszych liczb, więc jak już dodasz te 9 36 + 9 = 45 co i mnie wyszło

Jack: ja 3 posty, a Ty 1 post? O nie, przekonuj dalej! (patrz na ostatni mój argument)

think: no i o co chodzi przecież n ma wyjść 13! bo 2(10 + 11 + 12 + 13) = 20 + 22 + 24 + 26

Jack: oo

think: no właśnie O_o

think: w końcu dotarło co poeta miał na myśli czy zamierzasz mnie dalej molestować

Jack: Chwila zastanowienia... Zamurowało mnie, bo myslalem że "n" ma pokazywać który wyraz ciągu jest ostatnim. Ale z tego widać, że "n" nie wskazuje na to która to liczba z kolei... Skąd wiesz co teraz z tym "n" dalej robić? Jak go interpretować? Uważam, że przesuwasz ten "n" o kilka numerów do przodu i potem liczysz który to wyraz (dziedzicząc błąd liczenia).

Jack: dobra, odpuśćmy na razie. postaram się napisać program, który to policzy na piechotę...

think: Jack zaraz padnę normalnie... n to liczba naturalna z przedziału <10,99> sumujemy liczbę cyfr, ale to jest powiązane i z samą wartością cyfry 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 2*10 + 2*11 + ... + 2*n = 1999 45 + 2(10 + ... + n) = 1999

	10 + n
2*		(n − 10 + 1) = 1954
	2

(10 + n)(n − 9) = 1954 Δ = ... n₁ = 44,7 dla n = 44 ten iloczyn powinien być mniejszy od 1954 ponieważ tak jak pisałam, dodaliśmy wszystkie cyfry, które składają się na ciąg od 122333...44...44 i zabrakło nam jeszcze trochę do 1954 czyli zabrakło nam trochę spośród 45 (n = 44) (10 + 44)*(44 − 9) = 1890 < 1954

think: wartością liczby nie cyfry

Jack: Ok, faktycznie wyszło. Jutro na spokojnie się temu przyjrzę... Dzięki za miłą wymianę... strzałów

think: polecam się na przyszłość, ale podbijaj mi ciśnienie z rana wtedy mi to jakoś bardziej potrzebne

Jack: Ok, czaje teraz. Nie dodałem tych pierwszych 9 liczb.

Jack: hehe

think: no ffffrrrrreszcie spokojnie mogę iść spać, bo nie będę się głowić jakich argumentów tu użyć aby Cię przekonać

think: dobrej nocy Jack

Jack: Dzięki think Wzajemnie, niech Cie głowa już nie boli