dariaa: wyznacz ekstremum lokalne oraz przedzialy monotonicznosci funkcji y=x³/lnx , y=x+2arcctgx , y=(x²+1)e^x nie mam pojecia jak sie za to zabrac robilam w szkole 2 przyklady tylko z ekstremum ale prostsze duzo zaczynalismy od wyznaczenia dziedziny potem pochodnej i dziedziny pochodnej a nastepnie przyrownaniu pochodnej do zera tylko ze niezbyt mi to wychodzi na tych przykladach

Basia: y=f(x)=x³/lnx logarytmować można tylko liczby dodatnie czyli x>0 ponadto lnx#0 czyli x#e⁰ czyli x#1 D=(0;1)u(1;+∞) liczymy pochodną korzystając na wzór na pochodną ilorazu (x³)' * lnx - x³ * (lnx)' f'(x) = -------------------------------- (lnx)² 3x² *lnx - x³ * 1/x f'(x) = -------------------------------------- (lnx)² 3x² * lnx - x² f'(x) = ------------------------ (lnx)² x²(3lnx - 1) f'(x) = ------------------------ (lnx)² f'(x)=0 ⇔ 3lnx-1=0 (bo x²#0 na mocy założenia) lnx=1/3 x=e^1/3 znak pochodnej zależy tylko od znaku wyrażenie 3lnx-1, bo x²>0 i (lnx)²>0 logartytm naturalny jest funkcją rosnącą czyli x<e^1/3 ⇒ lnx<1/3 ⇒ 3lnx<1 ⇒ 3lnx-1<0 x>e^1/3 ⇒ lnx>1/3 ⇒ 3lnx>1 ⇒ 3lnx-1>0 e^1/3>1 x∈(0; 1)u(1; e^1/3) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f(x) maleje x∈(e^1/3; +∞) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f(x) rośnie w punkcie x=e^1/3 funkcja osiąga minimum = e/(1/3)=3e

Basia: y=f(x)=(x²+1)e^x D=R obliczamy pochodną korzystając z wzoru na pochodną iloczynu f'(x) = (x²+1)' * e^x + (x²+1) * (e^x)' f'(x) = 2x * e^x + (x²+1) * e^x f'(x) = e^x * (x²+2x+1) f'(x)=e^x * (x+1)² pochodna ma miejsce zerowe x=-1 ale nie zmienia w tym punkcie znaku; poza x=-1 jest stale dodatnia czyli funkcja jest stale rosnąca, nie ma ekstremów lokalnych, a w punkcie x₀=-1 ma tylko punkt przegięcia

Basia: y=f(x)=x+2arcctgx D=R f'(x)=1 - 2 / (1+x²) f'(x)=(1+x²-2) / (1+x²) f'(x)=(x²-1) / (1+x²) mianownik tej pochodnej jest stale dodatni czyli jej znak zależy wyłącznie od licznika x²-1=0 ⇔ (x-1)(x+1)=0 ⇔ x=-1 lub x=1 jeżeli narysujesz parabolę, która jest wykresem licznika zo baczysz, że x∈(-∞; -1) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f(x) rośnie x∈(-1;1) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f(x) maleje x∈(1; +∞) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f(x) rośnie czyli x_max=-1 x_min=1

pipipi: wyznacz ekstremum lokalne funkcji : xe do −1/2x