calka do policzenia anka: Calka do policzenia calka √x² +1dx kompletnie nie wiem jak sie za nia zabrac. moze ktos rozwiazac krok po kroku?

think: skorzystaj ze wzoru:

	1
∫(ax + b)n dx =		(ax + b)n + 1 + C dla n ≠ −1 założenie jest spełnione, bo
	a(n + 1)

	1
Twoje n =		≠ −1
	2

anka: nie rozumiem

AS:

	x		1
∫√x2 + 1dx =		√x2 + 1 +		ln(x + √x2 + 1) + C
	2		2

Jak znajdę trochę czasu to policzę.

anka: ok i dziekuje z gory juz

Mickej: Nie wiem jak As ale ja takie całki zazwyczaj jeżeli już liczę to z metody współczynników nieoznaczonych. chociaż są jeszcze inne możliwości ale dobrze będzie jeżeli tą metodę opanujesz bo przy jej pomocy można wszelakie całki machać

AS:

	x2 + 1		x2		1
J = ∫√x2 + 1dx = ∫		dx = ∫		dx + ∫		dx =
	√x2 + 1		√x2 + 1		√x2 + 1

= J1 + J2 gdzie

	x2		1
J1 = ∫		dx J2 = ∫		dx [0]
	√x2 + 1		√x2 + 1

Obliczam J2 Stosuję pierwsze podstawienie Eulera (t ≠ o) x + √x² + 1 = t ⇒ √x² + 1 = t − x [1] obustronnie kwadratuję

	t2 − 1
x2 + 1 = t2 − 2tx + x2 ⇒ 2tx = t2 − 1 ⇒ x =
	2t

Znalezione x wstawiam do [1] √x² + 1 = t − x [2]

	t2 − 1		t2 + 1
√x2 + 1 = t −		=
	2t		2t

Wstawiam do [2]

t2 + 1		t2 + 1
	= t − x ⇒ x = t −
2		2

	t2 − 1		1		1
x =		=		(t −		}
	2t		2		t

Obliczam różniczkę

	1		1		t2 + 1
dx =		(1 +		}dt =		dt [3]
	2		t2		2t2

	t2 + 1   dt 2t2
J2 = ∫
	t2 + 1   2t

J2 = ∫tdt = ln|t| = ln| x + √x² + 1| Obliczam całkę J1 przez części

	x2dx		x*xdx
J1 =		=
	√x2 + 1		√x2 + 1

	xdx
u = x dv =
	√x2 + 1

	xdx		1		2*xdx
du = dx v = ∫		=		∫		= √x2 + 1
	√x2 + 1		2		√x2 + 1

J1 = u*v − ∫vdu = x*√x² + 1 − ∫√x² + 1dx Wstawiam do 0 − zwracam uwagę że lewa strona to nasze J J = ln| x + √x² + 1| + x√x² + 1 − J 2*J = x√x² + 1 + ln| x + √x² + 1|

	1
J =		( x √x2 + 1 + ln| x + √x2 + 1|) + C
	2

anka: a prostrza metoda jest?

AS: Na pewno jest ale nie chce mi się jej szukać Uśmiechnij się do Micheja

AS: Korekta W końcowym zapisie winno być

	dt
J2 = ∫		= ln|t| ...
	t