rownanie trygonometryczne z parametrem justin bieber: Nawet nie wiem jak zaczac sin⁴x + cos⁴x = m² − 3 sin⁶x + cos⁶x = m

Mickej: Można na 2 sposoby. 1. Prostszy szkicujesz sobie wykresy funkcji np z pierwszego zadania sin⁴x+cos⁴x a następnie w zależności od parametru m odczytujesz ilość rozwiązań. Rozwiązywałeś kiedyś w taki sposób jakieś zadanie? 2. podstawiasz pod sin albo cos parametr t i rozwiązujesz jak zwykłą funkcje kwadratową oczywiscie najpierw założenia dotyczące dziedziny "t" Proszę zmień nick......bo żenada

Pawełek: Nigdy nie robilem z parametrem, i jeszcze te potegi

Mickej: naszkicuj sobie wykres sin⁴x+cos⁴x przyglądnij się i napisz co tam widzisz

:D: Za sam nick już bym Ci nie pomógł

Bogdan: Można spróbować również w ten sposób: sin⁴x + 2sin²x cos²x + cos⁴x − 2sin²x cos²x = m² − 3 (sin²x + cos²x)² − 2sin²x cos²x = m² − 3 1 − 2sin²x cos²x = m² − 3 2sin²x cos²x = 4 − m²

1
	* 4sin2x cos2x = 4 − m2
2

1
	sin22x = 4 − m2
2

sin²2x = 8 − 2m² sin²2x ∊ <−1, 1> ⇒ −1 ≤ 8 − 2m² ≤ 1 Otrzymaliśmy układ nierówności: 1. −1 ≤ 8 − 2m² 2. 8 − 2m² ≤ 1

Pawełek: thx a takie cos:

	x
2cosx + 3 = 4cos		////// 2cosx = cos2x = cos2x − sin2x = 2cos2x − 1
	2

	x
2cos2x − 1 + 3 = 4cos		i nie wiem co dalej
	2

Bogdan: Zad. 2. (sin²x)³ + (cos²x)³ = m, lewą stronę rozkładamy na czynniki stosując wzór skróconego mnożenia: a³ + b³ (sin²x + cos²x)(sin⁴x − sin²x cos²x + cos⁴x) = m sin⁴x − sin²x cos²x + cos⁴x = m ⇒ sin⁴x + 2sin²x cos²x + cos⁴x − 3sin²x cos²x = m (sin²x + cos²x)² − 3sin²x cos²x = m ⇒ 1 − 3sin²x cos²x = m

3		3
	*4sin2x cos2x = 1 − m ⇒		* sin22x = 1 − m
4		4

	4
sin22x =		(1 − m) dalej analogicznie do zadania 1.
	3

Pawełek: a to co ostatnie napisalem, co dalej z tym?

Bogdan:

	x		x		x
2cosx + 3 = 4cos		⇒ 2(2cos2		− 1) + 3 − 4cos		= 0
	2		2		2

	x		x		x		1
4cos2		− 4cos		+ 1 = 0 ⇒ 4(cos		−		)2 = 0
	2		2		2		2

	x		1
cos		=
	2		2

x		π		x		π
	=		+ k*2π lub		= −		+ k*2π, k∊C
2		3		2		3

	2π		2π
x =		+ k*4π lub x = −		+ k*4π
	3		3

Pawełek:

	x
jak z 2cosx zrobiles 2cos2		−1 jak zgodnie ze wzorem powinno byc 2cos2a −x i jeszcze
	2

pozniej ta 2 przed nawiazem, nie ogarniam

Edek: Bogdan, a tam gdzie napisałeś, że sin²2x ∊ <−1,1> nie powinno być czasem : sin²2x ∊ <0,1> ?

Bogdan:

	α
1. Przypominam zależność: cos2α = 2cos2α − 1 ⇒ cosα = 2cos2		− 1.
	2

2. Edek − gratuluję spostrzegawczości, tak jest, jak zauważyłeś, czyli sin²α ∊ <0, 1> a w tym zadaniu sin²2x ∊ <0, 1>.

m: |4x − y + 5| + |x + y − 3| =0

kasia541: mam pytanie do przykladu 1 ,ktory rozwiazywal Bogdan ,czy na koncu zamiast −1 w ''sin²2x ∊ <−1, 1> ' nie powinno byc 0? bo sin jest podniesiony do kwadratu

Bogdan: Prawdopodobnie to moje kasiu541 rozwiązanie. Gratuluję spostrzegawczości. Jeśli sin²2x = 8 − 2m², to z faktu 0 ≤ sin²2x ≤ 1 wynika 0 ≤ 8 − 2m² ≤ 1. Masz rację