Zadanie dla nocnych Marków Bogdan: Zadanie dla nocnych Marków. Wiadomo, że dla każdego x należącego do dziedziny funkcji y = f(x) zachodzi: 1 + f(x) + [f(x)]² + [f(x)]² + ... = x² − 1, gdzie lewa strona jest sumą zbieżnego szeregu geometrycznego. Wyznaczyć wzór tej funkcji i jej dziedzinę.

Bogdan: Poprawka: 1 + f(x) + [f(x)]² + [f(x)]³ + ... = x² − 1

Eta:

	2−x2
f(x) =
	1−x2

Określenie dziedziny zostawiam dla Godzia

Godzio: q = f(x) |f(x)| < 1 ⇒ f(x) < 1 i f(x) > − 1

	1
S =		= x2 − 1
	1 − f(x)

(1 − f(x) )(x² − 1) = 1 f(x)(−x² + 1) + x² − 1 = 1

	−x2 − 2
f(x) =
	1 − x2

Teraz się zastanawiam czy dziedzina to będzie R − {1,−1} + rozwiązanie f(x) < 1 i f(x) > − 1 ?

Godzio: poprawka:

	2 − x2
f(x) =
	1 − x2

Godzio:

	−x2 + 2
f(x) =
	1 − x2

f(x) < 1 i f(x) > − 1

−x2 + 2 − 1 + x2		−x2 + 2 + 1 − x2
	< 0 i		> 0
−x2 + 2		1 − x2

1		−2x2 + 3
	< 0 i		> 0
−x2 + 2		1 − x2

x² − 2 > 0 i (2x² − 3)(x − 1)(x + 1) > 0 (x − √2)(x + √2) > 0 i (√2x − √3)(√2x + √3)(x − 1)(x + 1) > 0

	√3		√3
x ∊ (−∞, − √2)∪(√2,∞) i x ∊ (−∞,		)∪(−1,1)∪(		,∞)
	√2		√2

	√6		√6
Odp: (−∞,		)∪(		,∞) − {1,−1}
	2		2

Bogdan:

	x2 − 2
Szukaną funkcją jest funkcja: f(x) =		, której dziedziną jest zbiór
	x2 − 1

	x2 − 2
rozwiązań nierówności: |		| < 1
	x2 − 1

	√6		√6
Dziedzina Df: x∊(−∞, −		)∪(		, +∞)
	2		2

	√6		√6
a = −		, b=
	2		2