matematykaszkolna.pl
Iwona: wyznacz przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia: y= x/ 1+ x2 y= x3/ 2(x-1)2
29 gru 10:06
Basia: y=x / (1+x2) D=R bo 1+x2 nigdy nie równa się 0 liczymy pierwszą pochodna korzystając z wzoru na pochodną ilorazu (f/g)' = (f'g-g'f)/g2 y' = [ 1*(1+x2) - 2x*x ] / (1+x2)2 y' = (1+x2-2x2) / (1+x2)2 y' = (1-x2) / (1+x2)2 liczymy drugą pochodną (czyli pochodną pierwszej pochodnej) korzystając z tego samego wzoru, oraz wzoru na pochodną funkcji złożonej y" = [ -2x*(1+x2)2 - 2(1+x2)*2x*(1-x2) ] / (1+x2)4 y" = [ -2x(1+x2) [(1+x2)+2(1-x2)] ] / (1+x2)4 y" = [ -2x(1+x2)(1+x2+2-2x2) ] / (1+x2)4 y" = [ -2x(1+x2)(3-x2) ] / (1+x2)4 y"=0 ⇔ licznik = 0 -2x(1+x2)(3-x2)=0 x=0 lub 3-x2=0 x=0 lub (3-x)(3+x)=0 x=0 lub x=-3 lub x=3 badamy znak pochodnej y", który zależy wyłącznie od wyrażenia -2x(3-x2) bo (1+x2) i (1+x2)4 są stale dodatnie najprościej jest to zrobić rysując wykres funkcji: f(x)=-2x g(x)=-x2+3 z wykresu będzie widać, że: x∈(-;-3) ⇒ y"<0 ⇒ funkcja wypukła x∈(-3;0) ⇒ y">0 ⇒ funkcja wklęsła x∈(0;3) ⇒ y"<0 ⇒ funkcja wypukła x∈(3;+) ⇒ y">0 ⇒ funkcja wklęsła czyli mamy trzy punkty przegięcia: x1=-3 x2=0 x3=3 kolejne spróbuj zrobić sama a w razie problemów napisz
1 sty 18:10
Iwona: No jakoś nie chciało mi wyjść, szczególnie mam problem z drugą pochodną. Wychodzą bardzo skomplikowane wyrażenia i nie wiem, co wyciągnąć przed nawias, aby trochę uprościć. Proszę o pomoc.
2 sty 15:45
Basia: y= x3/ 2(x-1)2 x-1#0 x#1 3x2*2(x-1)2 - x3*2*2(x-1) y' = --------------------------------------- 4(x-1)4 6x2(x2-2x+1) - 4x3(x-1) y' = -------------------------------------- 4(x-1)4 4x4 - 12x3 + 6x2 - 4x4 + 4x3 y' = ------------------------------------------------ 4(x-1)4 2x4 - 8x3 +6x2 y' = ---------------------------------------- 4(x-1)4 2x2(x2-4x+3) y' = ------------------------------ 4(x-1)4 y=x2-4x+3 liczymy Δ i pierwiastki (to umiesz?) x2-4x+3=(x-1)(x-3) x-3 y' = --------------------------- 2(x-1)3 1*2(x-1)3 - 6(x-1)2(x-3) y" = ------------------------------------- 4(x-1)6 i teraz już zajmujesz się tylko licznikiem bo mianownik jest stale dodatni dla x#1` L(x)= 2(x-1)2[ (x-1) - 3(x-3) ] = 2(x-1)2(-2x+8)= 4(x-1)2(-x+4) 4(x-1)#0 bo x#1 czyli -x+4=0 czyli x=4 i znak drugiej pochodnej zależy tylko od wyrażenia -x+4 kiedy to jest dodatnie a kiedy ujemne to już chyba nie problem
3 sty 13:05