Iwona: wyznacz przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia: y= x/ 1+ x² y= x³/ 2(x-1)²

Basia: y=x / (1+x²) D=R bo 1+x² nigdy nie równa się 0 liczymy pierwszą pochodna korzystając z wzoru na pochodną ilorazu (f/g)' = (f'g-g'f)/g² y' = [ 1*(1+x²) - 2x*x ] / (1+x²)² y' = (1+x²-2x²) / (1+x²)² y' = (1-x²) / (1+x²)² liczymy drugą pochodną (czyli pochodną pierwszej pochodnej) korzystając z tego samego wzoru, oraz wzoru na pochodną funkcji złożonej y" = [ -2x*(1+x²)² - 2(1+x²)*2x*(1-x²) ] / (1+x²)⁴ y" = [ -2x(1+x²) [(1+x²)+2(1-x²)] ] / (1+x²)⁴ y" = [ -2x(1+x²)(1+x²+2-2x²) ] / (1+x²)⁴ y" = [ -2x(1+x²)(3-x²) ] / (1+x²)⁴ y"=0 ⇔ licznik = 0 -2x(1+x²)(3-x²)=0 x=0 lub 3-x²=0 x=0 lub (√3-x)(√3+x)=0 x=0 lub x=-√3 lub x=√3 badamy znak pochodnej y", który zależy wyłącznie od wyrażenia -2x(3-x²) bo (1+x²) i (1+x²)⁴ są stale dodatnie najprościej jest to zrobić rysując wykres funkcji: f(x)=-2x g(x)=-x²+3 z wykresu będzie widać, że: x∈(-∞;-√3) ⇒ y"<0 ⇒ funkcja wypukła x∈(-√3;0) ⇒ y">0 ⇒ funkcja wklęsła x∈(0;√3) ⇒ y"<0 ⇒ funkcja wypukła x∈(√3;+∞) ⇒ y">0 ⇒ funkcja wklęsła czyli mamy trzy punkty przegięcia: x₁=-√3 x₂=0 x₃=√3 kolejne spróbuj zrobić sama a w razie problemów napisz

Iwona: No jakoś nie chciało mi wyjść, szczególnie mam problem z drugą pochodną. Wychodzą bardzo skomplikowane wyrażenia i nie wiem, co wyciągnąć przed nawias, aby trochę uprościć. Proszę o pomoc.

Basia: y= x³/ 2(x-1)² x-1#0 x#1 3x²*2(x-1)² - x³*2*2(x-1) y' = --------------------------------------- 4(x-1)⁴ 6x²(x²-2x+1) - 4x³(x-1) y' = -------------------------------------- 4(x-1)⁴ 4x⁴ - 12x³ + 6x² - 4x⁴ + 4x³ y' = ------------------------------------------------ 4(x-1)⁴ 2x⁴ - 8x³ +6x² y' = ---------------------------------------- 4(x-1)⁴ 2x²(x²-4x+3) y' = ------------------------------ 4(x-1)⁴ y=x²-4x+3 liczymy Δ i pierwiastki (to umiesz?) x²-4x+3=(x-1)(x-3) x-3 y' = --------------------------- 2(x-1)³ 1*2(x-1)³ - 6(x-1)²(x-3) y" = ------------------------------------- 4(x-1)⁶ i teraz już zajmujesz się tylko licznikiem bo mianownik jest stale dodatni dla x#1` L(x)= 2(x-1)²[ (x-1) - 3(x-3) ] = 2(x-1)²(-2x+8)= 4(x-1)²(-x+4) 4(x-1)#0 bo x#1 czyli -x+4=0 czyli x=4 i znak drugiej pochodnej zależy tylko od wyrażenia -x+4 kiedy to jest dodatnie a kiedy ujemne to już chyba nie problem