Synestezia: W trapezie ABCD, AB||CD poprowadzono przekatne AC i BD ktore przeciely sie w punkcie S. pole trojkata ABS jest rowne 18cm², a pole trojkata CDS jest rowne 8cm². Oblicz pole trapezu ABCD.

sushi_ gg6397228: wskazówki:

	a*h1
18=
	2

	b*h2
8=
	2

h=h₁+h₂

Synestezia: a mógłbyś zrobić rysunek do Twoich wskazówek? Bo nie umiem sobie tego wyobrazić...

sushi_ gg6397228: jestem jeszcze wiekszym leniem od Ciebie w rysowaniu

Synestezia: i tyle wiem. Do tych oznaczeń możesz napisać Twoje wskazówki?

think:

	|AB|*h1
18 =
	2

	|DC|*h2
8 =
	2

h = h₁ + h₂

think: wzór na pole trapezu:

	|AB| + |DC|
P =		h
	2

think: spostrzeżenie, dotyczące kątów jest przydatne, bo w takim razie te trójkąty są podobne więc z tego spróbuj wyciągnąć jakąś informację.

Synestezia: Nic mi to nie mówi Doszedłem jeszcze do tego, że h1 :h2 = 3:2

sushi_ gg6397228: to samo dyczy sie bokow AB i CD skala podobienstwa

Eta: Podaję gotową zależność ! ( poszukaj na forum, było podawane wyprowadzenie tej zależności ) P(trapezu ABCD) = ( √P₁+ √P₂)² = P₁+ 2√P₁*P₂+P₂ P₃= P₄= √P₁*P₂ stąd: P(ABCD) = ( √18+√8)²= 18 + 2*√18*8+8= 26+2*√144= 26+ 24= 50 na tym koniec rozwiązania Odp: P= 50 [j²]

Bogdan: Podam rozwiązanie tego zadania, bo dość trudno jest znaleźć jego rozwiązanie w czeluściach archiwum naszego forum. Najpierw wykażemy, że |ES| = |SF| oraz że pola trójkątów ASD i BSC są równe.

	a		h
Z podobieństwa trójkątów: ABD i ESD:		=		.
	|ES|		h2

	a		h
Z podobieństwa trójkątów: ABC i FSC:		=
	|SF|		h2

Stąd |ES| = |SF| = c h₁ + h₂ = h Pole trójkąta ASD:

	1		1		1		1
PASD =		c*h1 +		c*h2 =		c(h1 + h2} =		ch
	2		2		2		2

Pole trójkąta BSC:

	1		1		1		1
PBSC =		c*h1 +		c*h2 =		c(h1 + h2} =		ch
	2		2		2		2

czyli P_ASD = P_BSC = P₃

	1		1
PASD = PABD − P1 =		ah − P1 i PBSC = PBCD − P2 =		bh − P2
	2		2

	1		1
PASD = PBSC ⇒		ah − P1 =		bh − P2
	2		2

1		1		1
	ah −		bh = P1 − P2 ⇒		h(a − b) = P1 − P2
2		2		2

	1
Pole trapezu ABCD PT =		h(a + b)
	2

	1		1
Równania:		h(a − b) = P1 − P2 i		h(a + b) = PT dzielimy stronami.
	2		2

1   h(a − b)   2		P1 − P2
	=		⇒
1   h(a + b)   2		PT

	a   b( − 1)   b		P1 − P2
⇒		=
	a   b( + 1)   b		PT

	a		√ P1
Z podobieństwa trójkątów ABS i CDS:		=
	b		√ P2

√ P1   − 1   √ P2		P1 − P2
	=
√ P1   + 1   √ P2		PT

√P1 − √P2		P1 − P2
	=
√P1 + √P2		PT

√P1 − √P2		(√P1 − √P2)*(√P1 + √P2)
	=
√P1 + √P2		PT

1		√P1 + √P2
	=
√P1 + √P2		PT

P_T = (√P₁ + √P₂)² ⇒ P_T = (√18 + √8)² = 18 + 2√18*8 + 8 = 50 Dodam, że: 1. P_T = (√P₁ + √P₂)² = P₁ + 2√ P₁*P₂ + P₂, gdzie √ P₁*P₂ = P₃

	ab
2. c =		oraz 2c = |EF| jest równe średniej harmonicznej długości podstaw a i b.
	a + b

Eta: Podam taki dowód dla tej zależności: ΔABD i ΔABC mają tę samą wysokość i podstawę ( ich pola są równe) zatem : P₁+P₃= P₁+P₄ => P₃=P₄ z podobieństwa ΔABS ~ ΔCDS

	P1		√P1		√P1*P2
		= k2 => k=		=
	P2		√P2		P2

wprowadzam oznaczenia dla x, y >0 IDSI= x , IBSI = k*x i ICSI= y , IASI= k*y

	kx*ky		k2*xy*sinα
P1=		*sinα=
	2		2

	2P1
to sinα=
	k2xy

sinβ= sin(180^o −α)= sinα

	x*ky		k*xy		2P1		P1		P2
P3=		*sinβ=		*		=		= P1*
	2		2		k2xy		k		√P1*P2

	P1*P2
P3=		= √P1*P2
	√P1*P2

P(ABCD) = P₁+P₂ + P₃+P₄= P₁+P₂+ 2P₃ P(ABCD)= P₁+2√P₁*P₂+ P₂ P(ABCD) = ( √P₁+ √P₂) ²

ss: jak to się mówi chuj

Matura za tydzien :

NieUmiemITyle: Dobrze, że teraz chociaż wiem czego nie ogarniam