Jak rozwiązać to równanie?? kk: 3x + y − z + q = 4 6x − 2y − z + 2q = 5 x − 2y +3z− q =1 próbowałem metodę Gaussa ,ale nie wyszło. czy trzeba przenieść którąś z kolumn na prawą stronę

kk: czy ktoś pomoże

Bogdan: Jedną ze zmiennych, np. q traktujemy jak parametr i przenosimy na stronę wyrazów wolnych. 3x + y − z = 4 − q 6x − 2y − z = 5 − 2q x − 2y + 3z = 1 + q Teraz rozwiąż ten układ równań.

kk: dzięki Wx= 1,57 Wy= 1,57 Wz= 1,42 czy ktoś może potwierdzić wyniki?

Bogdan: a gdzie jest q?

kk: hmmm nie wiem gdzie się podziało obliczyłem wyznacznik główny z takiej macierzy 3 1 −1 6 −2 −1 1 −2 3 i wyznacznik wyszedł −21 Następnie wyznacznik Wx( w pierwsza kolumnę wstawiłem) 3 3 2 wyznacznik wyszedł −33 Wyznacznik Wy(w drugą kolumnę wstawiłem) 3 3 2 wyznacznik = −33 Wz( w trzecią kolumnę wstawiłem 3 3 2 i wyznacznik = −30 a Wq nie wiem skąd mam wziąć

sushi_ gg6397228: jak liczysz W_x to pod "x" wstawiasz kolumne wyrazow wolnych A TY wszedzie wstawiasz 3,3,2 −−> bierzesz te liczby z zeszłorocznej choinki

kk: 3,3,2 z choinki nie jest czyli mam wstawiać w Wx w kolumnie"x" 4,5,1 , w Wy w kolumnie "y" 4,5,1, w Wz w kolumnie "z" 4,5,1 a co zrobić z kolumną q

Krzysiek: Można z wyznaczników oczywiście, ale wyznaczniki to zawsze jest koszmar, podczas gdy z Gaussa można dostać rozwiązanie w 3 linijkach. Chcesz zobaczyć jak to zrobić z Gaussa?

kk: no pewnie ,że chciałbym zobaczyć

Krzysiek: Dobra, jeśli się wreszcie nie pomyliłem to jak doprowadzisz to do górnej macierzy trójkątnej to wyjdzie: 3 1 −1 1 | 4 0 −4 1 0 | −3 0 0 8 −4 | 5 (pomnożyłem ostatnie równanie przez 3 żeby nie mieć ułamków) Rząd tej macierzy to 3, więc rozwiązaniem będzie linia prosta.

Krzysiek: no to znajdźmy coś co nie wiem jak się nazywa po polsku, ale po angielsku: particular solution (rozwiązanie równania) niech 3 pierwsze kolumny będą niezależne. Więc podstawiamy za q=0 i sprawdzamy jaka kombinacja 3 pierwszych kolumn da wektor [4, −3, 5] stąd masz x y z − mi wyszło:

	119
x =
	96

	29
y =
	32

	5
z =
	8

kk: czyli w takim przypadku q=0

Krzysiek: A teraz znajdujemy coś, co nie wiem jak się nazywa po polsku, ale po angielsku nullspace: (rozwiązanie równania Ax=0 − sory uczyłem się tego z wykładów Gilberta Stranga na youtubie) czyli jaka kombinacja czterech kolumn da wektor zerowy: Np jeśli podstawimy q=1, to mi wyszło:

	5
x = −
	24

	1
y =
	8

	1
z =
	2

Czyli każda wielokrotność wektora:

	−5
x
	24

	1
y =
	8

	1
z
	2

q 1 Spełnia równanie Ax=0 więc pełne rozwiązanie to:

119		−5
96		24

29		1
	+ c *
32		8

5		1
8		2

0 1 c − stała

Krzysiek: w pierwszym kroku znajdujemy kombinację tych niezależnych kolumn, która daje nam wynik. pierwsze 3 są niezależne. są one powiązane z x, y i z, dlatego narazie podstawiamy za q=0 Ale np gdyby zamienić miejscami wyrażenia z q i z w układzie równań, to pierwsze 3 niezależne kolumny byłyby związane z x, y i q, wtedy podstawiamy z=0.

kk: ale się rozpisałeś dzięki , spróbuję to sobie przyswoić

Krzysiek: Ogólnie procedura to: 1. Sprowadzić do postaci U 2. Znaleźć rozwiązania Ax=b: a) podstawić 0 za wszystkie zmienne związane z zależnymi kolumnami b) znaleźć kombinację kolumn niezależnych, która daje wektor b wynik nazwijmy x_p 3. Znaleźć rozwiązania Ax=0 a) podstawiać 1 za kolejne zmienne związane z zależnymi kolumnami b) dla każdej zależnej kolumny znaleźć kombinację tych niezależnych, żeby po dodaniu do niej wyszło 0 wynik to będzie tyle wektorów, ile mamy zależnych kolumn (u nas jest jedna. nazwijmy wynik x_n) 4. Rozwiązanie to x_p + dowolna liniowa kombinacja rozwiązań Ax=0 (u nas x_p + c*x_n Powodzenia! − i sprawdź to koniecznie bo w macierzach najłatwiej się pomylić.

Bogdan: 1. 3x + y − z = 4 − q 2. 6x − 2y − z = 5 − 2q 3. x − 2y + 3z = 1 + q Sprawny uczeń gimnazjum stosując metodę podstawiania rozwiązałby to zadanie po prostu tak: 1. z = 3x + y − 4 + q 2. 6x − 2y − 3x − y + 4 − q = 5 − 2q ⇒ 3x − 3y = 1 − q 3. x − 2y + 9x + 3y − 12 + 3q = 1 + q ⇒ 10x + y = 13 − 2q ⇒ y = 13 − 2q − 10x

	40 − 7q
2. 3x − 39 + 6q + 30x = 1 − q ⇒ 33x = 40 − 7q ⇒ x =
	33

	40 − 7q		29 + 4q
y = 13 − 2q − 10 *		=
	33		33

	40 − 7q		29 + 4q		17 + 16q
z = 3 *		+		− 4 + q =
	33		33		33