Urny logicznie wylogowana: W urnach znajduje się łącznie 999 kul. Można wyjmować kule z urny oraz usuwać całe urn łącznie z kulami. Uzasadnij, że można doprowadzić do sytuacji, w której znajduję się równa ilość kul w urnach oraz łączna liczba kul znajdujących się w urnach nie jest mniejsza niż 100 Nikt nie pomoże Napiszcie chociaż, że nie wiecie jak, to mnie podtrzyma na duchu

b.: jeśli w którejś urnie jest ≥ 100 kul, to usuwamy pozostałe urny i gotowe możemy więc założyć, że w każdej urnie jest ≤ 99 kul, w konsekwencji urn jest co najmniej 11. muszę już iść...

logicznie wylogowana: A jeśli chciałabym użyc dowodu nie wprost?

b.: ok, dowód nie wprost będzie. Niech a₁, a₂, ..., a_n oznaczają liczby kul w poszczególnych urnach, załóżmy przy tym, że a₁ ≥ a₂ ≥ ... ≥ a_n ≥ 1 Mamy oczywiście a₁+a₂ + ... + a_n = 999, więc n≤999. Wystarczy udowodnić, że istnieje k takie, że ka_k ≥ 100 (pozostawiam Tobie do sprawdzenia, dlaczego to wystarczy) Załóżmy nie wprost, że ka_k ≤ 99 dla k=1,2,...n. Wówczas 999 = a₁ + a₂ + ... + a_n =

	1		1
= a1 +		2a2 + ... +		nan ≤
	2		n

	1		1
≤ 99 +		99 + ... +		99 =
	2		n

	1		1
= 99(1 +		+ ... +		) ≤
	2		n

	1		1
≤ 99(1 +		+ ... +		)
	2		999

skąd

	1		1
10 < 1 +		+ ... +		,
	2		999

sprzeczność (dlaczego powyższa nierówność jest fałszywa, pozostawiam do sprawdzenia Tobie ) Koniec dowodu

b.: (gdybyś miała kłopoty z uzupełnieniem tych 2 miejsc, pisz, ale zastanów się najpierw!)