ekstremum student: Wyznacz ekstremum funkcji: z=e^x₂(x+y²) Proszę o rozwiązanie zadania albo chociaż kierunek do pomocy ; )

AS: Ekstrema funkcji wielu zmiennych Dana jest funkcja z = f(x,y) Warunek konieczny ekstremum w punkcie P(xo,yo) f ’x (xo,yo) = 0 i f ’y (xo,yo) = 0 Warunek wystarczający 1. f’x(xo,yo) = 0 i f’y(xo,yo) = 0 2. W(xo,yo) = f ’xx(xo,yo)*f ’yy(xo,yo) – [f ’xy(xo,yo)]² > 0 przy czym gdy f ’xx(xo,yo) < 0 w punkcie (xo,yo) maksimum lokalne gdy f ’xx(xo,yo) > 0 w punkcie (xo,yo) minimum lokalne Jeśli W(xo,yo) = 0 przypadek wątpliwy,badać osobno Jeśli W(xo,yo) < 0 w punkcie (xo,yo) brak ekstremum e^x/2 f(x,y) = x*e^x/2 + e^x/2*y²

	1		1
f ' x = ex/2 + x*		ex/2 +		ex/2*y2
	2		2

	1		1
f ' x = ex/2(1 +		*x +		*y2)
	2		2

f ' y = 2*y*e^x/2 = 2*y*e^x/2 Rozwiązuje układ równań f 'x = 0 , f'y = 0 f ' y = 0 → y = 0

	1		1		1
f ' x = 0 → e−1*(1 +		*x +		02) = 0 → e−1*(1 +		*x) = 0 → x = −2
	2		2		2

Podejrzany punkt o ekstremum to P(−2,0) Badam warunek istnienia ekstremum f ' xx = 1/2e^x/2 + 1/2e^x/2 + 1/4*e^x/2 + 1/4*e^x/2*y² f ' xx = e^x/2(1 + 1/2*x + 1/4*y²) f ' xx(−2,0) = e⁻¹(1 + 1/2*(−2) + 0) = 0 f ' yy = 2*e^x/2 f ' yy(−2,0) = 2*e⁻¹ = 2/e f ' xy = 1/2*e^x/2*2*y = e^x/2*y f ' xy(−2,0) = e⁻¹*0 = 0 Obliczam wyróżnik w w = 0*2/e − 0² = 0 Przypadek wątpliwy (Chyba się nie pomyliłem w obliczeniach)

Nina : Pomożecie? Wyznacz ekstrema lokalne funkcji z=x²+xy+y²+e² . Bardzo proszę o czytelne rozwiazanie krok po kroku, bo nie bardzo to rozumiem.

huehuehue: na koncu masz e²? policz pochodne po x i po y potem przyrownaj je do 0 i rozwiaz uklad rownan

Nina : Tak miałam na egzaminie i nie bardzo wiedziałam co to jest to e² Obliczyłam ale nie wiem czy o to chodziło: f'x(x,y)= 2x f'y(x,y)=2y 2x=0 , 2y=0 A(0,0) f''xx(x,y)=2 f''yy(x,y)=2 f''xy(x,y)=o W=det =4 W(A)=W(0,0)=4>0 czyli istnieje ekstremum. Tak do ma być?

Nina : to*

huehuehue: e² to jakas stala a jak wiesz pochodna ze stalej=0 co to pochodnych 1 rzedu to tak z=x²+xy+y²+e²

dz
	=2x+y
dx

dz
	=x+2y
dy

popraw i jak piszesz ze wystepuje ekstremum to napisz co to minimum czy maksimum

Nina : Ok, dziękuje.

meeya: tak z ciekawosci bo podobne zadanie do z=ex2(x+y2) mialem: w rozwiazaniu AS jest blad: " Podejrzany punkt o ekstremum to P(−2,0) Badam warunek istnienia ekstremum f ' xx = 1/2ex/2 + 1/2ex/2 + 1/4*ex/2 + 1/4*ex/2*y2 f ' xx = ex/2(1 + 1/2*x + 1/4*y2) f ' xx(−2,0) = e−1(1 + 1/2*(−2) + 0) = 0 " blad od drugiej linijki: powinno byc f'xx= ex/2(1+1/4x +1/4 y2) wobec czego f'xx(−2,0) = e−1(1+ 1/4*(−2)+0)= 1/2ex/2 tak wiec ekstremum jak najbardziej jest, wyznacznik macierzy >0 i jest to minimum w (−2,0)

meeya: oczywiscie f'xx(−2,0) = 1/2 e⁻¹