Eaniel: x+2 lim (-------)^2x-1 x→∞ x-3 zadanie jest z grupy tych, dla których wychodzi eⁿ jako granica typu: (1+n/x)^x jak podstawiam dużą liczbę za x, to wychodzi coś, z czego ln wynosi mniej więcej -2, to by sugerowało, że granica jest równa e^-2 ale nie mam pojęcia jak to rozwiązać...

Gwiazdka: Witam! to wyrazenie 2x - 1 --- to wykładnik potęgi ? tak? w/g moich obliczeń granica tego wyrazenia = 1 a jaką masz odp: ? ( jestem b. ciekawa?)

Basia: y=2x-1 2x=y+1 x=(y+1)/2 jeżeli x→+∞ to y też i mamy lim ( [(y+1)/2 + 2] / [(y+1)/2 - 3] )^y= y→+∞ lim ( [y+5] / [y-5] )^y= y→+∞ lim ( [1+5/y] / [1-5/y] )^y= y=5z z=y/5 → +∞ y→+∞ lim [(1+1/z)^z]⁵ * [(1-1/z)^-z]⁵= z→+∞ e⁵ * e^-5=e⁰=1 no to skoro Gwiazdce też tak wyszło to chyba mamy dobrze Jak minęły Święta?

Basia: Gdzieś zginął mój wpis, ale też mi wyszło 1. Pozdrawiam

Gwiazdka: Witam! Ja liczyłam tak! x przed nawias i z licznika i z mianownika! wyrażenie przyjmuje postać (1 +2/x)^2x ( 1 -3/x ) ------------- * ----------- (1 - 3/x)^2x (1+ 2/x) więc przy x→∞ granica =1 co Basia na to ?

Gwiazdka: Nie zginął jest! Pozdrawiam jeszcze prawie świątecznie

Eaniel: Już wiem, prawidłowy wynik to lim...=e¹⁰ Ale dziękuję bardzo za Wasze rozwiązania, oba naprowadziły mnie na właściwy trop! Basia ma błąd w ostatnim przekształceniu, który dotyczy znaku wykładnika. Ma być: e⁵*e⁵=e¹⁰ z drugiego czynnika [(1-1/z)^-z]⁵ jest plus, ponieważ granica z (1-1/z)^z=e^-1, ale jest drugi minus przy z. Gwiazdka też podała pomysłowe rozwinięcie, ale z tego nie wychodzi ta granica 1, a w szczególności: drugi czynnik (1-3x)/(1+2/x) dąży do jedynki (bo jest 1/1, nie ma żadnych symboli nieoznaczonych). A w pierwszym czynniku nie można wprost powiedzieć co zmierza do jedynki, ponieważ 1^∞ daje symbol nieoznaczony (i w liczniku i w mianowniku). Ale można to dalej rozwiazywać. W pierwszym czynniku licznik: (1+2/x)^2x można zapisać jako ((1+2/x)^x)² a takie wyrażenie dąży do (e²)²=e⁴ Z kolei mianownik: (1-3/x)^2x=((1-3/x)^x)² i to dąży do (e^-3)²=e^-6 (korzystałem z definicji, że lim przy x →∞ z (1+n/x)^x=eⁿ) Zatem ostatecznie pierwszy czynnik całej granicy zamieni się na: (e⁴)/(e^-6)=e¹⁰ (a drugi to 1) Ale znalazłem jeszcze inne rozwiązanie! lim ((x+2)/(x-3))^2x-1= x→∞ przekształcam licznik, aby go rozbić lim ((x-3+5)/(x-3))^2x-1= x→∞ rozbijam jako sumę ułamków, z których pierwszy ma licznik taki sam jak mianownik lim ((x-3)/(x-3)+5/(x-3))^2x-1= x→∞ skracam pierwszy ułamek, a drugi rozszerzam przez 2, żeby uzyskać 2x lim (1+10/(2x-6))^2x-1= x→∞ modyfikuję wykładnik zapisując go inaczej, aby uzyskać wyrażenie 2x-6 z mianownika lim (1+10/(2x-6))^2x-6+5= x→∞ podstawiam y=2x-6 lim (1+10/y)^y+5= y→∞ rozbijam sumę wykładników na iloczyn podstaw: lim (1+10/y)^y * (1+10/y)⁵= y→∞ Pierwszy czynnik ma granicę z definicji e¹⁰, drugi dąży do 1. Mamy wynik =e¹⁰ Ten wynik można też "przybliżyć" kalkulatorem, podstawiając jakąś dużą liczbę za x, np. milion. Wtedy będzie: ((1000002)/(999997))^1999999≈22026,465795265601679907923007928 taki wynik oczywiście nic nie mówi, ale jeżeli spodziewamy się że jest to wynik postaci eⁿ, wystarczy zrobić logarytm naturalny aby znaleźć n i mamy... ln(22026,465795265601679907923007928)≈10,000000000020833354166760416833 Czyli jak widać przybliżenie zupełnie przyzwoite - to mnie upewnia, ze wynik jest e¹⁰